Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rr} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{lll} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right],
D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right], E=\left[\begin{array}{rrr} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right]
(i) \operatorname{tr}(D)

Passo 1

O enunciado fornece várias matrizes e pede, no item (i), calcular \operatorname{tr}(D).
A matriz D fornecida é
D=\begin{bmatrix} 1 & 5 & 2\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}.]

Passo 2

Definição e ideia principal (calma, é simples): a trace de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Em outras palavras, para uma matriz quadrada M=(m_{ij}) de ordem n tem-se
\operatorname{tr}(M)=\sum_{i=1}^{n} m_{ii}=m_{11}+m_{22}+\cdots+m_{nn}.
Aqui m_{ii} é o elemento que está na linha i e coluna i — ou seja, aqueles que formam a linha diagonal que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito.
Dica de prova/exame: para calcular a trace basta somar os elementos da diagonal; não precisa olhar para os outros elementos.

Passo 3

Vou identificar explicitamente os elementos da diagonal principal de D. Peguei esses números diretamente da matriz D dada:
  • elemento (1,1) é \;1\;,
  • elemento (2,2) é \;0\;,
  • elemento (3,3) é \;4\;.

Passo 4

Agora somo esses elementos, que é exatamente o cálculo da trace:
\operatorname{tr}(D)=1+0+4.
Fazendo a adição (passo a passo: 1+0=1, depois 1+4=5) obtemos o resultado final.

Passo 5

Comentário rápido e motivador: \operatorname{tr}(D) não depende dos elementos fora da diagonal — por isso é um cálculo muito rápido em prova. Além disso, a trace é linear: \operatorname{tr}(X+Y)=\operatorname{tr}(X)+\operatorname{tr}(Y) e \operatorname{tr}(cX)=c\,\operatorname{tr}(X) para escalar c. Essas propriedades ajudam quando a pergunta envolve combinações de matrizes.

Resposta

5

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