In Exercises 35-38, solve the system using ei ther Gaussian elimination with back-substitution or Gauss-Jordan elimination.
38.
\begin{aligned}2 x+y-z+2 w= & -6 \\\ 3 x+4 y+w= & 1 \x+5 y+2 z+6 w= & -3 \\\ 5 x+2 y-z-w= & 3\end{aligned}

Passo 1

O sistema fornecido é
\begin{aligned} 2x+y-z+2w &= -6,\\\\ 3x+4y+0z+w &= 1,\\\ x+5y+2z+6w &= -3,\\\\ 5x+2y-z-w &= 3. \end{aligned}
O que se pede é encontrar os valores das incógnitas \,x,y,z,w\, que satisfazem simultaneamente todas as quatro equações. As informações dadas são exatamente os coeficientes e os termos independentes das quatro equações acima. A resolução a seguir vai transformar esse sistema numa forma mais simples (triangular) usando operações elementares em linhas até obter os valores de \,x,y,z,w.

Passo 2

Primeiro represento o sistema na forma de matriz aumentada (cada número em TeX):
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & -1 & 2 & -6\\[4pt] 3 & 4 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 2 & 6 & -3\\[4pt] 5 & 2 & -1 & -1 & 3 \end{array}\right].
Vou aplicar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma matriz triangular superior, e então farei substituição regressiva para encontrar as incógnitas. Escolhi trocar a primeira linha com a linha que já tem coeficiente 1 na primeira coluna para evitar frações iniciais.]

Passo 3

Troco a linha 1 com a linha 3 (para ter pivô 1 na primeira coluna):
R_1 \leftrightarrow R_3
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 2 & 6 & -3\\[4pt] 3 & 4 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 2 & -6\\[4pt] 5 & 2 & -1 & -1 & 3 \end{array}\right].]

Passo 4

Elimino os termos abaixo do pivô da coluna 1 usando R_1:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - 3R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 - 2R_1,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - 5R_1. \end{aligned}
Calculemos cada linha:
  • R_2 = [3,4,0,1\mid1] - 3[1,5,2,6\mid-3] = [0,-11,-6,-17\mid10].
  • R_3 = [2,1,-1,2\mid-6] - 2[1,5,2,6\mid-3] = [0,-9,-5,-10\mid0].
  • R_4 = [5,2,-1,-1\mid3] - 5[1,5,2,6\mid-3] = [0,-23,-11,-31\mid18].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 2 & 6 & -3\\[4pt] 0 & -11 & -6 & -17 & 10\\[4pt] 0 & -9 & -5 & -10 & 0\\[4pt] 0 & -23 & -11 & -31 & 18 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora vamos trabalhar a segunda coluna. É conveniente transformar o pivô da linha 2 em 1. Divido R_2 por -11:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-11}R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2 = [0,1,\tfrac{6}{11},\tfrac{17}{11}\mid -\tfrac{10}{11}].
Com esse pivô 1 na coluna 2, zerei as entradas da coluna 2 nas linhas 3 e 4:
\begin{aligned} R_3 &\leftarrow R_3 + 9R_2,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 + 23R_2. \end{aligned}
Calculemos:
  • R_3 = [0,-9,-5,-10\mid0] + 9[0,1,\tfrac{6}{11},\tfrac{17}{11}\mid -\tfrac{10}{11}].
    • Na terceira coluna: -5 + 9\cdot\tfrac{6}{11} = -\tfrac{55}{11} + \tfrac{54}{11} = -\tfrac{1}{11}.
    • Na quarta coluna: -10 + 9\cdot\tfrac{17}{11} = -\tfrac{110}{11} + \tfrac{153}{11} = \tfrac{43}{11}.
    • No termo independente: 0 + 9\cdot(-\tfrac{10}{11}) = -\tfrac{90}{11}.
      Assim R_3 = [0,0,-\tfrac{1}{11},\tfrac{43}{11}\mid -\tfrac{90}{11}].
  • R_4 = [0,-23,-11,-31\mid18] + 23[0,1,\tfrac{6}{11},\tfrac{17}{11}\mid -\tfrac{10}{11}].
    • Terceira coluna: -11 + 23\cdot\tfrac{6}{11} = -\tfrac{121}{11} + \tfrac{138}{11} = \tfrac{17}{11}.
    • Quarta coluna: -31 + 23\cdot\tfrac{17}{11} = -\tfrac{341}{11} + \tfrac{391}{11} = \tfrac{50}{11}.
    • Termo independente: 18 + 23\cdot(-\tfrac{10}{11}) = \tfrac{198}{11} - \tfrac{230}{11} = -\tfrac{32}{11}.
      Assim R_4 = [0,0,\tfrac{17}{11},\tfrac{50}{11}\mid -\tfrac{32}{11}].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 2 & 6 & -3\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{6}{11} & \tfrac{17}{11} & -\tfrac{10}{11}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{11} & \tfrac{43}{11} & -\tfrac{90}{11}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{17}{11} & \tfrac{50}{11} & -\tfrac{32}{11} \end{array}\right].]

Passo 6

Agora fazemos o pivô na coluna 3. Multiplico R_3 por -11 para transformar o pivô em 1:
R_3 \leftarrow -11R_3 \quad\Rightarrow\quad R_3 = [0,0,1,-43\mid 90].
Em seguida anulo as entradas da coluna 3 nas linhas 1,2,4 usando R_3:
\begin{aligned} R_1 &\leftarrow R_1 - 2R_3,\\\ R_2 &\leftarrow R_2 - \tfrac{6}{11}R_3,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - \tfrac{17}{11}R_3. \end{aligned}
Calculemos cada atualização:
  • R_1 = [1,5,2,6\mid -3] - 2[0,0,1,-43\mid90] = [1,5,0,6 +86\mid -3 -180] = [1,5,0,92\mid -183].
  • R_2 = [0,1,\tfrac{6}{11},\tfrac{17}{11}\mid -\tfrac{10}{11}] - \tfrac{6}{11}[0,0,1,-43\mid90].
    • Quarta coluna: \tfrac{17}{11} - \tfrac{6}{11}(-43) = \tfrac{17}{11} + \tfrac{258}{11} = \tfrac{275}{11} = 25.
    • Termo independente: -\tfrac{10}{11} - \tfrac{6}{11}\cdot 90 = -\tfrac{10}{11} - \tfrac{540}{11} = -\tfrac{550}{11} = -50.
      Assim R_2 = [0,1,0,25\mid -50].
  • R_4 = [0,0,\tfrac{17}{11},\tfrac{50}{11}\mid -\tfrac{32}{11}] - \tfrac{17}{11}[0,0,1,-43\mid90].
    • Quarta coluna: \tfrac{50}{11} - \tfrac{17}{11}(-43) = \tfrac{50}{11} + \tfrac{731}{11} = \tfrac{781}{11} = 71.
    • Termo independente: -\tfrac{32}{11} - \tfrac{17}{11}\cdot 90 = -\tfrac{32}{11} - \tfrac{1530}{11} = -\tfrac{1562}{11} = -142.
      Assim R_4 = [0,0,0,71\mid -142].
A matriz triangular fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 0 & 92 & -183\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 25 & -50\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -43 & 90\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 71 & -142 \end{array}\right].]

Passo 7

A última linha dá diretamente uma equação em w. Divido a linha 4 por 71 para achar w:
R_4 \leftarrow \frac{1}{71}R_4 \quad\Rightarrow\quad R_4 = [0,0,0,1\mid -2].
Logo \,w = -2.

Passo 8

Agora faço substituição regressiva (back-substitution) usando as linhas superiores:
  • Da linha 3: \,z -43w = 90. Substituindo \,w = -2: z -43(-2) = 90 \quad\Rightarrow\quad z +86 = 90 \quad\Rightarrow\quad z = 4.
  • Da linha 2: \,y +25w = -50. Substituindo \,w = -2: y +25(-2) = -50 \quad\Rightarrow\quad y -50 = -50 \quad\Rightarrow\quad y = 0.
  • Da linha 1: \,x +5y +92w = -183. Substituindo \,y=0 e \,w=-2: x +5\cdot 0 +92(-2) = -183 \quad\Rightarrow\quad x -184 = -183 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Portanto obtemos \,x=1,\; y=0,\; z=4,\; w=-2\,.

Passo 9

Verificação rápida (substituir na equação original) para confirmar:
\begin{aligned} 2x+y-z+2w &= 2(1)+0-4+2(-2) = 2-4-4 = -6,\\\\ 3x+4y+w &= 3(1)+4(0)-2 = 3-2 = 1,\\\ x+5y+2z+6w &= 1+0+8+6(-2)=1+8-12=-3,\\\\ 5x+2y-z-w &= 5(1)+0-4-(-2)=5-4+2=3, \end{aligned}
todas as equações conferem com os termos independentes dados. Resultado consistente.

Resposta

x=1
y=0
z=4
w=-2

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