Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rr} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{lll} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right],
D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right], E=\left[\begin{array}{rrr} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right]
(I) \operatorname{tr}(A)

Passo 1

O enunciado fornece várias matrizes e pede, entre outras coisas, o valor de \operatorname{tr}(A). As matrizes dadas são (vou anotar também a dimensão de cada uma, contando linhas \times colunas):
A=\begin{bmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{bmatrix}\quad(\text{dimensão }3\times2),ã
B=\begin{bmatrix}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{bmatrix}\quad(\text{dimensão }2\times2),ã
C=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{bmatrix}\quad(\text{dimensão }2\times3),ã
D=\begin{bmatrix}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{bmatrix}\quad(\text{dimensão }3\times3),ã
E=\begin{bmatrix}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{bmatrix}\quad(\text{dimensão }3\times3).ã
A questão (I) é especificamente: calcular \operatorname{tr}(A).

Passo 2

O que é a \operatorname{tr} (traço) de uma matriz? Vou explicar de um jeito direto e prático.
  • Para uma matriz quadrada de ordem n (isto é, dimensão n\times n), a definição é
\operatorname{tr}(M)=\sum_{i=1}^{n} m_{ii},
onde m_{ii} é o elemento da linha i e coluna i da matriz M.
  • Em palavras: o traço é a soma dos elementos da diagonal principal (do canto superior esquerdo ao inferior direito).
  • Importante: essa definição exige que a matriz seja quadrada; sem ser quadrada, a noção padrão de traço não está definida na álgebra linear elementar.
Exemplo simples para fixar: se
M=\begin{bmatrix}2 & 5\\\\ 1 & -3\end{bmatrix},
então \operatorname{tr}(M)=2+(-3)=-1. Note como eu somei apenas os elementos (1,1) e (2,2).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: contei as linhas e colunas de A. A tem 3 linhas e 2 colunas, ou seja dimensão 3\times2. Portanto A não é uma matriz quadrada ( 3\neq2). Pela definição que vimos, o traço só é definido para matrizes n\times n. Conclusão direta: \operatorname{tr}(A) não está definida no sentido usual.

Passo 4

Só para esclarecer uma possível confusão que às vezes aparece em prova: algumas pessoas, por hábito, somam os elementos na posição (1,1), (2,2) — isto é, os elementos da diagonal que existem — e obtêm 3+2=5. Isso é a soma dos elementos a_{11} e a_{22}, mas não é a definição canônica de traço quando a matriz não é quadrada. Em exames e na maior parte dos livros, a resposta correta é afirmar que o traço não está definido porque a matriz não é quadrada. Se o enunciado pedisse explicitamente “soma dos elementos da diagonal que existem”, aí sim seria 3+2=5, mas não foi o caso.

Resposta

\operatorname{tr}(A) não está definida, pois A não é quadrada ( 3\times2).

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