Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 3 & 1 \\\\ 7 & -4 \\\\ 5 & 9\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & -5 & -7 \\\\ 6 & 2 & -8 & 3\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\\\ -3 & 5\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{cccc}1 & 7 & 3 & -8 \\\\ -3 & -1 & -3 & 4 \\\\ 4 & 1 & 9 & 0 \\\\ 5 & 3 & 2 & -3\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 4 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ -2 & 2 & -1\end{array}\right], F=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 4\end{array}\right] e I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]. Calcule:
(a) A B;
(b) B A;
(c) (B A) C;
(d) B(A C) (compare com o item (c));
(e) B^{t} A^{t} (compare com o item (a));
(f) C^{t} A^{t} B^{t} (compare com os itens (c) e (d));
(g) C^{2};
(h) C^{3};
(i) C^{4} (aqui, você pode calcular fazendo C C^{3}, C^{3} C ou C^{2} C^{2} );
(j) E F (note que F é diagonal e compare o resultado com a matriz E );
(k) F E (note que F é diagonal e compare o resultado com a matriz E );
(l) E I (note que I é a matriz identidade e compare o resultado com a matriz E);
(m) I E (note que I é a matriz identidade e compare o resultado com a matriz E);
(n) B A C-C^{2}+3(B A)^{t}.

Passo 1

O enunciado dá várias matrizes e pede produtos, potências e combinações lineares de matrizes. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes (respeitando dimensões), associatividade, propriedade de transposta \,(AB)^t = B^tA^t, multiplicação por matriz diagonal (escala linhas ou colunas) e efeito da identidade. Vamos calcular sistematicamente cada item.

Passo 2

Calcular A B e B A usando a definição de multiplicação de matrizes.
Para A B, como A é 4\times2 e B é 2\times4, o produto é 4\times4. Após multiplicar cada linha de A pelas colunas de B, obtemos
A B = \begin{pmatrix} -11 & -1 & 11 & -13\\\\ 9 & 11 & -23 & -18\\\\ -17 & 13 & -3 & -61\\\\ 59 & 33 & -97 & -8 \end{pmatrix}.
Para B A, como B é 2\times4 e A é 4\times2, o produto é 2\times2. Fazendo as contas, fica
B A = \begin{pmatrix} -60 & -42\\\\ -29 & 49 \end{pmatrix}.

Passo 3

Verificar associatividade: (B A)C e B(A C).
Primeiro (B A)C. Como B A e C são 2\times2, multiplica-se diretamente:
(B A)C = \begin{pmatrix} 6 & -450\\\\ -205 & 129 \end{pmatrix}.
Agora A C é 4\times2, e em seguida B(A C) dá novamente 2\times2. O cálculo conduz ao mesmo resultado:
B(A C) = \begin{pmatrix} 6 & -450\\\\ -205 & 129 \end{pmatrix}.
Logo a multiplicação é associativa neste caso.

Passo 4

Usar a propriedade (AB)^t = B^tA^t para achar B^tA^t e a transposta de (BA)C para C^tA^tB^t.
Como B^tA^t = (AB)^t, transpondo a matriz de AB do Passo 2 obtemos
B^tA^t = \begin{pmatrix} -11 & 9 & -17 & 59\\\\ -1 & 11 & 13 & 33\\\\ 11 & -23 & -3 & -97\\\\ -13 & -18 & -61 & -8 \end{pmatrix}.
E como C^tA^tB^t = (BA\,C)^t, transpondo \,(BA)C\ do Passo 3 dá
C^tA^tB^t = \begin{pmatrix} 6 & -205\\\\ -450 & 129 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular potências de C. Começando por
C^2 = \begin{pmatrix} -8 & 28\\\\ -21 & 13 \end{pmatrix},
depois
C^3 = C^2\,C = \begin{pmatrix} -100 & 108\\\\ -81 & -19 \end{pmatrix},
e finalmente
C^4 = C^2\,C^2 = \begin{pmatrix} -524 & 140\\\\ -105 & -419 \end{pmatrix}.

Passo 6

Multiplicar E por F e F por E, sabendo que F é diagonal com entradas 3,-2,4. E F escala as colunas de E:
E F = \begin{pmatrix} -6 & -2 & 16\\\\ 3 & 0 & 12\\\\ -6 & -4 & -4 \end{pmatrix}. F E escala as linhas de E:
F E = \begin{pmatrix} -6 & 3 & 12\\\\ -2 & 0 & -6\\\\ -8 & 8 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 7

Multiplicar E por I e I por E. Como I é identidade 3\times3, temos
E I = I E = E = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 4\\\\ 1 & 0 & 3\\\\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 8

Calcular a expressão final
B A C \;-\; C^2 \;+\; 3\,(B A)^t.
Substituindo (BA)C=\begin{pmatrix}6 & -450\\\ -205 &129\end{pmatrix}, C^2=\begin{pmatrix}-8&28\\\ -21&13\end{pmatrix}, (BA)^t=\begin{pmatrix}-60&-29\\\ -42&49\end{pmatrix}, temos
\begin{pmatrix} 6\\\ -205 \end{pmatrix.\,} - \!\! \begin{pmatrix} -8\\\ -21 \end{pmatrix.\,} + 3\, \begin{pmatrix} -60\\\ -42 \end{pmatrix.\,} = \begin{pmatrix} -166 & -565\\\\ -310 & 263 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle A B = \begin{pmatrix}-11 & -1 & 11 & -13\\[4pt]9 & 11 & -23 & -18\\[4pt]-17 & 13 & -3 & -61\\[4pt]59 & 33 & -97 & -8\end{pmatrix}
(b) \displaystyle B A = \begin{pmatrix}-60 & -42\\[4pt]-29 & 49\end{pmatrix}
(c) \displaystyle (B A)C = \begin{pmatrix}6 & -450\\[4pt]-205 & 129\end{pmatrix}
(d) \displaystyle B(A C) = \begin{pmatrix}6 & -450\\[4pt]-205 & 129\end{pmatrix}
(e) \displaystyle B^tA^t = \begin{pmatrix}-11 & 9 & -17 & 59\\[4pt]-1 & 11 & 13 & 33\\[4pt]11 & -23 & -3 & -97\\[4pt]-13 & -18 & -61 & -8\end{pmatrix}
(f) \displaystyle C^tA^tB^t = \begin{pmatrix}6 & -205\\[4pt]-450 & 129\end{pmatrix}
(g) \displaystyle C^2 = \begin{pmatrix}-8 & 28\\[4pt]-21 & 13\end{pmatrix}
(h) \displaystyle C^3 = \begin{pmatrix}-100 & 108\\[4pt]-81 & -19\end{pmatrix}
(i) \displaystyle C^4 = \begin{pmatrix}-524 & 140\\[4pt]-105 & -419\end{pmatrix}
(j) \displaystyle E F = \begin{pmatrix}-6 & -2 & 16\\[4pt]3 & 0 & 12\\[4pt]-6 & -4 & -4\end{pmatrix}
(k) \displaystyle F E = \begin{pmatrix}-6 & 3 & 12\\[4pt]-2 & 0 & -6\\[4pt]-8 & 8 & -4\end{pmatrix}
(l) \displaystyle E I = \begin{pmatrix}-2 & 1 & 4\\[4pt]1 & 0 & 3\\[4pt]-2 & 2 & -1\end{pmatrix}
(m) \displaystyle I E = \begin{pmatrix}-2 & 1 & 4\\[4pt]1 & 0 & 3\\[4pt]-2 & 2 & -1\end{pmatrix}
(n) \displaystyle B A C - C^2 + 3\,(B A)^t = \begin{pmatrix}-166 & -565\\[4pt]-310 & 263\end{pmatrix}]

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