Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 3 & 1 \\\\ 7 & -4 \\\\ 5 & 9\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & -5 & -7 \\\\ 6 & 2 & -8 & 3\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\\\ -3 & 5\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{cccc}1 & 7 & 3 & -8 \\\\ -3 & -1 & -3 & 4 \\\\ 4 & 1 & 9 & 0 \\\\ 5 & 3 & 2 & -3\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 4 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ -2 & 2 & -1\end{array}\right], F=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 4\end{array}\right] e I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]. Calcule:
(a) A B;
(b) B A;
(c) (B A) C;
(d) B(A C) (compare com o item (c));
(e) B^{t} A^{t} (compare com o item (a));
(f) C^{t} A^{t} B^{t} (compare com os itens (c) e (d));
(g) C^{2};
(h) C^{3};
(i) C^{4} (aqui, você pode calcular fazendo C C^{3}, C^{3} C ou C^{2} C^{2} );
(j) E F (note que F é diagonal e compare o resultado com a matriz E );
(k) F E (note que F é diagonal e compare o resultado com a matriz E );
(l) E I (note que I é a matriz identidade e compare o resultado com a matriz E);
(m) I E (note que I é a matriz identidade e compare o resultado com a matriz E);
(n) B A C-C^{2}+3(B A)^{t}.
Passo 1
O enunciado dá várias matrizes e pede produtos, potências e combinações lineares de matrizes. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes (respeitando dimensões), associatividade, propriedade de transposta \,(AB)^t = B^tA^t, multiplicação por matriz diagonal (escala linhas ou colunas) e efeito da identidade. Vamos calcular sistematicamente cada item.
Passo 2
Calcular A B e B A usando a definição de multiplicação de matrizes.
Para A B, como A é 4\times2 e B é 2\times4, o produto é 4\times4. Após multiplicar cada linha de A pelas colunas de B, obtemos