Determine \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} e d de modo que \left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede uma matriz
X = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
tal que
X \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Isso significa que X é a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}.
Para resolver, vamos calcular A^{-1}.

Passo 2

Calcular o determinante de A. Para uma matriz 2\times2,
\det(A) = 2\cdot4 - 3\cdot3 = 8 - 9 = -1.

Passo 3

Formar a matriz adjunta de A, trocando as entradas da diagonal principal e invertendo o sinal das entradas fora da diagonal. Assim, a matriz de cofatores transposta (adjunta) é
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}4 & -3 \\\\ -3 & 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Obter a inversa de A usando a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix}4 & -3 \\\\ -3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & 3 \\\\ 3 & -2\end{pmatrix}.
Portanto, X = A^{-1} = \bigl(a,b;c,d\bigr).

Resposta

a = -4
b = 3
c = 3
d = -2

Exercícios relacionados