Quantas entradas podem ser escolhidas aleatoriamente e quantas ficam determinadas em uma matriz antissimétrica de ordem n ?

Passo 1

O enunciado pergunta, para uma matriz antissimétrica de ordem n, quantas entradas podemos escolher livremente e quantas ficam automaticamente determinadas pela condição de antissimetria. O conteúdo empregado será a definição de matriz antissimétrica, ou seja, uma matriz A=(a_{ij}) que satisfaz
A^T = -A,
isto implica em duas regras principais que usaremos na contagem de graus de liberdade.

Passo 2

Da condição A^T=-A segue, para as entradas diagonais,
a_{ii} = -a_{ii}
para todo i. Logo cada a_{ii} deve ser zero. Portanto as n entradas da diagonal principal não podem ser escolhidas livremente, todas ficam determinadas como 0.

Passo 3

Para as entradas fora da diagonal, a condição a_{ji} = -\,a_{ij} vale para todo par i\neq j. Isso significa que, uma vez escolhido a_{ij} com i<j, a entrada simétrica a_{ji} (com j>i) fica automaticamente definida como -a_{ij}.

Passo 4

O número de pares (i,j) com 1\le i<j\le n é
\frac{n(n-1)}{2}.
Cada tal par corresponde a uma entrada acima da diagonal que podemos escolher livremente. Portanto o número de entradas escolhíveis aleatoriamente é
\boxed{\frac{n(n-1)}{2}}.

Passo 5

O total de entradas de uma matriz n\times n é n^2. Dessas, \tfrac{n(n-1)}{2} são livres e o restante n^2 - \tfrac{n(n-1)}{2} fica determinado. Simplificando,
n^2 - \frac{n(n-1)}{2} = \frac{2n^2 - n^2 + n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}.
Alternativamente, soma-se n zeros da diagonal mais \tfrac{n(n-1)}{2} entradas abaixo da diagonal. De qualquer forma, o número de entradas determinadas é
\boxed{\frac{n(n+1)}{2}}.

Resposta

As entradas livres são \tfrac{n(n-1)}{2} e as determinadas são \tfrac{n(n+1)}{2}.

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