Quantas entradas podem ser escolhidas aleatoriamente e quantas ficam determinadas em uma matriz antissimétrica de ordem
?
Passo 1
O enunciado pergunta, para uma matriz antissimétrica de ordem
, quantas entradas podemos escolher livremente e quantas ficam automaticamente determinadas pela condição de antissimetria. O conteúdo empregado será a definição de matriz antissimétrica, ou seja, uma matriz
que satisfaz
isto implica em duas regras principais que usaremos na contagem de graus de liberdade.
Passo 2
Da condição
segue, para as entradas diagonais,
para todo
. Logo cada
deve ser zero. Portanto as
entradas da diagonal principal não podem ser escolhidas livremente, todas ficam determinadas como
.
Passo 3
Para as entradas fora da diagonal, a condição
vale para todo par
. Isso significa que, uma vez escolhido
com
, a entrada simétrica
(com
) fica automaticamente definida como
.
Passo 4
O número de pares
com
é
Cada tal par corresponde a uma entrada acima da diagonal que podemos escolher livremente. Portanto o número de entradas escolhíveis aleatoriamente é
Passo 5
O total de entradas de uma matriz
é
. Dessas,
são livres e o restante
fica determinado. Simplificando,
Alternativamente, soma-se
zeros da diagonal mais
entradas abaixo da diagonal. De qualquer forma, o número de entradas determinadas é
Resposta
As entradas livres são
e as determinadas são
.