(12 pontos) Identifique e esboce a cónica de equação
8 x^{2}-4 x y+5 y^{2}=36

Passo 1

O enunciado apresenta a cônica de equação
8x^{2}-4xy+5y^{2}=36
e pede que a identifiquemos e esbocemos seu gráfico. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, e vamos usar (1) o discriminante B^{2}-4AC para classificar a cônica e (2) rotação de eixos para eliminar o termo xy.

Passo 2

Escrevemos a forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 36
com A=8, B=-4, C=5. Calculamos o discriminante
\Delta = B^2 - 4AC = (-4)^2 -4\cdot8\cdot5 = 16 -160 = -144.
Como \Delta<0 e não há termos lineares, trata-se de uma elipse centrada na origem.

Passo 3

Para eliminar o termo misto, consideramos a forma matricial da quadrática:
Q(x,y) = [x\;y] \begin{pmatrix} 8 & -2\\\\ -2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Encontramos os autovalores \lambda resolvendo
\det\!\begin{pmatrix} 8-\lambda & -2\\\\ -2 & 5-\lambda \end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; \lambda^2 -13\lambda +36=0,
cuja solução é
\lambda_{1}=9, \quad \lambda_{2}=4.

Passo 4

Os autovetores associados satisfazem
Para \lambda_{1}=9:
(8-9)x -2y=0 \;\Longrightarrow\; -x -2y=0 \;\Longrightarrow\; (x,y)=(-2,1).
Para \lambda_{2}=4:
(8-4)x -2y=0 \;\Longrightarrow\; 4x -2y=0 \;\Longrightarrow\; (x,y)=(1,2).
Definindo as coordenadas rotacionadas (u,v) de modo que o eixo u siga (-2,1) e o eixo v siga (1,2), a equação diagonaliza para
9\,u^2 + 4\,v^2 =36.

Passo 5

Dividindo por 36, obtemos a forma canônica da elipse:
\frac{u^2}{4} + \frac{v^2}{9} =1.
Portanto os semieixos são
\sqrt{4}=2 ao longo do eixo u (menor) e
\sqrt{9}=3 ao longo do eixo v (maior).

Passo 6

Para esboçar, notamos que o eixo maior (comprimento total 6) está na direção do autovetor (1,2), que forma com o eixo x um ângulo
\varphi = \arctan\bigl(2/1\bigr)\approx63{,}4^\circ.
O eixo menor (comprimento total 4) está perpendicular, na direção de (-2,1). Esboce uma elipse centrada na origem, com eixos rotacionados em \varphi, semieixos 3 e 2.

Resposta

A cônica é uma elipse centrada na origem, com semieixo maior 3 na direção do vetor (1,2) (ângulo \approx63{,}4^\circ com o eixo x) e semieixo menor 2 na direção de (-2,1).

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