Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 2 \\\\ -1 & 0 & 3 \\\\ 2 & 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right] Calcule
\left(B^{t} A^{t}\right)

Passo 1

O que o exercício pede: calcular \left(B^{t}A^{t}\right).
Dados fornecidos:
A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 \\[4pt] -1 & 0 & 3 \\[4pt] 2 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & -1 & 3 \\[4pt] 1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Pergunta explícita: obter a matriz produto \left(B^{t}A^{t}\right). Não há informação faltante.]

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): o que é a transposta de uma matriz?
  • A transposta de uma matriz M, denotada por M^{t}, é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Ou seja, o elemento que estava em posição (i,j) em M passa para a posição (j,i) em M^{t}.
  • Exemplo rápido: se M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, então M^{t}=\begin{pmatrix}a & c\\\ b & d\end{pmatrix}.
Vou aplicar isso para achar A^{t} e B^{t}.

Passo 3

Calcular A^{t} passo a passo: pego as colunas de A e faço delas as linhas de A^{t}.
Coluna 1 de A é \begin{pmatrix}1\\\\ -1\\\\ 2\end{pmatrix} → será a primeira linha de A^{t}.
Coluna 2 de A é \begin{pmatrix}-3\\\\ 0\\\\ 0\end{pmatrix} → será a segunda linha de A^{t}.
Coluna 3 de A é \begin{pmatrix}2\\\\ 3\\\\ 1\end{pmatrix} → será a terceira linha de A^{t}.
Portanto,
A^{t}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\[4pt] -3 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular B^{t} passo a passo: pego as colunas de B e faço delas as linhas de B^{t}.
Coluna 1 de B é \begin{pmatrix}0\\\\ 1\\\\ 2\end{pmatrix} → primeira linha de B^{t}.
Coluna 2 de B é \begin{pmatrix}-1\\\\ 0\\\\ 1\end{pmatrix} → segunda linha de B^{t}.
Coluna 3 de B é \begin{pmatrix}3\\\\ 1\\\\ -1\end{pmatrix} → terceira linha de B^{t}.
Portanto,
B^{t}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\[4pt] -1 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Regra de multiplicação (aula pequena): como multiplicar duas matrizes X e Y de ordem 3\times3?
  • O elemento da posição (i,j) do produto XY é o produto interno (ou “produto escalar”) da i-ésima linha de X com a j-ésima coluna de Y:
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} X_{ik}\,Y_{kj}.
  • Em palavras: multiplica cada entrada correspondente da linha por da coluna e soma os três resultados.
Vou aplicar essa regra a B^{t}A^{t}. Vou nomear C=B^{t}A^{t} e calcular cada entrada c_{ij}.

Passo 6

Calcular a primeira linha de C (ou seja, c_{1j} para j=1,2,3).
A primeira linha de B^{t} é \begin{pmatrix}0 & 1 & 2\end{pmatrix}.
As colunas de A^{t} (usadas abaixo) são:
coluna 1 de A^{t}: \begin{pmatrix}1\\\\ -3\\\\ 2\end{pmatrix},
coluna 2 de A^{t}: \begin{pmatrix}-1\\\\ 0\\\\ 3\end{pmatrix},
coluna 3 de A^{t}: \begin{pmatrix}2\\\\ 0\\\\ 1\end{pmatrix}.
Agora os produtos escalares:
\begin{aligned} c_{11}&=(0)\cdot(1)+(1)\cdot(-3)+(2)\cdot(2)=-3+4=1,\\[4pt] c_{12}&=(0)\cdot(-1)+(1)\cdot(0)+(2)\cdot(3)=0+6=6,\\[4pt] c_{13}&=(0)\cdot(2)+(1)\cdot(0)+(2)\cdot(1)=0+2=2. \end{aligned}]

Passo 7

Calcular a segunda linha de C (ou seja, c_{2j} para j=1,2,3).
A segunda linha de B^{t} é \begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Usando as mesmas colunas de A^{t}:
\begin{aligned} c_{21}&=(-1)\cdot(1)+(0)\cdot(-3)+(1)\cdot(2)=-1+2=1,\\[4pt] c_{22}&=(-1)\cdot(-1)+(0)\cdot(0)+(1)\cdot(3)=1+3=4,\\[4pt] c_{23}&=(-1)\cdot(2)+(0)\cdot(0)+(1)\cdot(1)=-2+1=-1. \end{aligned}]

Passo 8

Calcular a terceira linha de C (ou seja, c_{3j} para j=1,2,3).
A terceira linha de B^{t} é \begin{pmatrix}3 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Novamente, com as colunas de A^{t}:
\begin{aligned} c_{31}&=3\cdot(1)+1\cdot(-3)+(-1)\cdot(2)=3-3-2=-2,\\[4pt] c_{32}&=3\cdot(-1)+1\cdot(0)+(-1)\cdot(3)=-3+0-3=-6,\\[4pt] c_{33}&=3\cdot(2)+1\cdot(0)+(-1)\cdot(1)=6+0-1=5. \end{aligned}]

Passo 9

Checagem rápida (observação útil e reconfortante): há uma propriedade geral das transpostas que pode servir de verificação:
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.
Ou seja, o que calculámos, B^{t}A^{t}, deve ser igual à transposta de AB. Isso não substitui os cálculos, mas é uma boa forma de conferir se o resultado faz sentido.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 6 & 2 \\[4pt] 1 & 4 & -1 \\[4pt] -2 & -6 & 5 \end{pmatrix}]

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