Questão 03. ( 2,0 pontos) Determine a projeção do vetor \vec{u} sobre o vetor v=(4,3), sabendo que o ângulo entre eles é \pi / 4 \mathrm{rad} e \|\vec{u}\|=10. Use que \cos \pi / 4=\sqrt{ } 2 / 2

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a projeção do vetor \vec{u} sobre o vetor v=(4,3).
Informações dadas pelo enunciado: \|\vec{u}\|=10, o ângulo entre \vec{u} e v é \pi/4 e \cos\!\left(\pi/4\right)=\sqrt{2}/2.
Observação importante: a projeção pedida é um vetor paralelo a v (não apenas um número), ou seja queremos o vetor sombra de \vec{u} na direção de v.

Passo 2

Conceito e fórmula da componente escalar (comprimento projetado): a componente de \vec{u} na direção de v (também chamada de componente escalar ou comp) é o comprimento da projeção, dado por
\text{comp}_{v}\vec{u}=\|\vec{u}\|\cos\theta,
onde \|\vec{u}\| é a norma (comprimento) de \vec{u} e \theta é o ângulo entre \vec{u} e v. Aqui \theta=\pi/4. Substituindo:
\text{comp}_{v}\vec{u}=10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}.
Interpretação simples: 5\sqrt{2} é o comprimento da sombra de \vec{u} sobre a direção de v.

Passo 3

Para transformar esse comprimento em vetor precisamos do versor (vetor unitário) na direção de v. Primeiro calculamos a norma de v a partir de suas componentes (dado do enunciado):
\|v\|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
O vetor unitário na direção de v é
\hat{v}=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right).

Passo 4

Agora a projeção vetorial de \vec{u} sobre v é o comprimento projetado vezes o versor:
\operatorname{proj}_{v}\vec{u}=\text{comp}_{v}\vec{u}\,\hat{v}=5\sqrt{2}\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right).
Cancelando o 5:
\operatorname{proj}_{v}\vec{u}=\left(4\sqrt{2},\,3\sqrt{2}\right).

Passo 5

Verificação alternativa (fórmula do produto escalar): outra forma de obter o mesmo resultado é usar
\operatorname{proj}_{v}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot v}{\|v\|^{2}}\,v.
Aqui \vec{u}\cdot v=\|\vec{u}\|\,\|v\|\cos\theta=10\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}. Então
\frac{\vec{u}\cdot v}{\|v\|^{2}}=\frac{25\sqrt{2}}{25}=\sqrt{2},
e
\operatorname{proj}_{v}\vec{u}=\sqrt{2}\,(4,3)=(4\sqrt{2},3\sqrt{2}),
que coincide com o resultado do passo anterior (boa consistência para usar na prova).

Resposta

(4\sqrt{2},3\sqrt{2})

Exercícios relacionados