(3,0) Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cccc} 2 & 4 & 7 & 13 \\\\ 2 & 5 & 8 & 12 \\\\ 1 & 2 & 3 & 5 \\\\ 3 & 6 & 9 & 16 \end{array}\right] \text { e } R=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 9 & -2 & -6 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
a) Calcule \operatorname{det} A;
b) A é invertível? Justifique;
c) Sabendo que B \in M_{4 \times 4} é uma matriz tal que A B=R, calcule \operatorname{det} B.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e R:
A=\begin{bmatrix} 2 & 4 & 7 & 13 \\\\ 2 & 5 & 8 & 12 \\\\ 1 & 2 & 3 & 5 \\\\ 3 & 6 & 9 & 16 \end{bmatrix}, \qquad R=\begin{bmatrix} 1 & 9 & -2 & -6 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
As perguntas são:
a) Calcular \operatorname{det} A. \n
b) Dizer se A é invertível e justificar. \n
c) Sabendo que existe B\in M_{4\times4} tal que A B = R, calcular \operatorname{det} B.
As informações relevantes: as entradas das matrizes A e R estão acima; R é triangular superior (isso será útil); não nos deram B, apenas a relação A B = R.

Passo 2

Breve explicação da estratégia que vou usar (sem detalhes técnicos extensos ainda): para (a) vou usar operações elementares de linha que não alteram o determinante (soma de múltiplos de uma linha em outra) para simplificar A e facilitar o cálculo do determinante por desenvolvimento. Importante saber: somar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante; trocar linhas muda o sinal; multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k. Vou aplicar apenas operações do tipo “linha <- linha - múltiplo de outra linha”, que preservam o determinante, para obter uma forma mais fácil. Depois usarei expansão por cofactores (minors) para terminar o cálculo.

Passo 3

Recordando conceitos usados (rápida aula prática):
  • Propriedade 1: Se fazemos a operação \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i + c\cdot\text{linha}_j (com c real e i\neq j), o determinante não muda.
  • Propriedade 2: Se a matriz é triangular superior (ou inferior), o determinante é o produto das entradas da diagonal.
  • Propriedade 3: Para matrizes X,Y quadradas do mesmo tamanho, \operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}Y.
Vou usar a Propriedade 1 para simplificar A, e depois a Propriedade 3 na parte (c).

Passo 4

Aplicando operações de linha em A. Observação prática: a terceira linha de A é \begin{bmatrix}1&2&3&5\end{bmatrix}. Faço as operações (que não alteram o determinante):
\begin{aligned} \text{linha}_1 &\leftarrow \text{linha}_1 - 2\cdot\text{linha}_3,\\\ \text{linha}_2 &\leftarrow \text{linha}_2 - 2\cdot\text{linha}_3,\\\ \text{linha}_4 &\leftarrow \text{linha}_4 - 3\cdot\text{linha}_3. \end{aligned}
Calculemos cada nova linha:
  • \text{linha}_1 - 2\cdot\text{linha}_3 = [2,4,7,13] - 2[1,2,3,5] = [0,0,1,3].
  • \text{linha}_2 - 2\cdot\text{linha}_3 = [2,5,8,12] - 2[1,2,3,5] = [0,1,2,2].
  • \text{linha}_4 - 3\cdot\text{linha}_3 = [3,6,9,16] - 3[1,2,3,5] = [0,0,0,1].
Então a matriz resultante (após essas operações que preservam \operatorname{det}A) é
A'=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 1 & 2 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

Passo 5

Cálculo do determinante de A' (que é igual ao de A). Vou expandir por cofactores usando a primeira coluna de A'. Na primeira coluna de A' temos os elementos [0,0,1,0]^T. Só o elemento da terceira linha é não nulo, então
\operatorname{det}A' = (-1)^{3+1}\cdot 1 \cdot M_{3,1},
onde M_{3,1} é o menor obtido eliminando a terceira linha e a primeira coluna (ou seja, o determinante da submatriz 3\times3 formada pelas linhas 1,2,4 e colunas 2,3,4). O sinal é (-1)^{3+1}=+1. Logo
\operatorname{det}A' = 1\cdot \det \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3\\\\ 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

Passo 6

Calculemos o determinante do 3\times3 acima. É conveniente expandir por sua terceira linha, que é [0,0,1]. Usando expansão por cofactores na terceira linha:
\det\begin{bmatrix} 0 & 1 & 3\\\\ 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 1\cdot (-1)^{3+3}\cdot \det\begin{bmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 2 \end{bmatrix}.
Aqui (-1)^{3+3}=+1. O determinante do 2\times2 é
\det\begin{bmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 2 \end{bmatrix} = 0\cdot 2 - 1\cdot 1 = -1.
Portanto o determinante do 3\times3 é -1.

Passo 7

Concluímos que
\operatorname{det}A = \operatorname{det}A' = -1.
Aqui foi importante ter mantido controle das operações de linha (usamos apenas operações que preservam o determinante), então o valor final é válido para A.

Passo 8

Resposta à parte (b) — invertibilidade: a condição para uma matriz quadrada ser invertível é que o seu determinante seja diferente de 0. Como encontramos \operatorname{det}A = -1 \neq 0, a matriz A é invertível. (Explicação curta: existir A^{-1} é equivalente a \operatorname{det}A\neq 0.)

Passo 9

Parte (c): calcular \operatorname{det}B sabendo que A B = R. Usamos a propriedade multiplicativa do determinante:
\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}A \cdot \operatorname{det}B.
Pelo enunciado \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}R. Então
\operatorname{det}B = \frac{\operatorname{det}R}{\operatorname{det}A}.
Agora calculamos \operatorname{det}R. Observação: R é triangular superior, então seu determinante é o produto das entradas da diagonal:
\operatorname{det}R = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 1 = 6.
Logo
\operatorname{det}B = \frac{6}{-1} = -6.

Resposta

\operatorname{det}A = -1
A é invertível (pois \operatorname{det}A = -1 \neq 0)
\operatorname{det}B = -6

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