a) Calcule \operatorname{det} A;
b) A é invertível? Justifique;
c) Sabendo que B \in M_{4 \times 4} é uma matriz tal que A B=R, calcule \operatorname{det} B.
As perguntas são:
a) Calcular \operatorname{det} A. \n
b) Dizer se A é invertível e justificar. \n
c) Sabendo que existe B\in M_{4\times4} tal que A B = R, calcular \operatorname{det} B.
As informações relevantes: as entradas das matrizes A e R estão acima; R é triangular superior (isso será útil); não nos deram B, apenas a relação A B = R.
Passo 2
Breve explicação da estratégia que vou usar (sem detalhes técnicos extensos ainda): para (a) vou usar operações elementares de linha que não alteram o determinante (soma de múltiplos de uma linha em outra) para simplificar A e facilitar o cálculo do determinante por desenvolvimento. Importante saber: somar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante; trocar linhas muda o sinal; multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k. Vou aplicar apenas operações do tipo “linha <- linha - múltiplo de outra linha”, que preservam o determinante, para obter uma forma mais fácil. Depois usarei expansão por cofactores (minors) para terminar o cálculo.
Propriedade 1: Se fazemos a operação \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i + c\cdot\text{linha}_j (com c real e i\neq j), o determinante não muda.
Propriedade 2: Se a matriz é triangular superior (ou inferior), o determinante é o produto das entradas da diagonal.
Propriedade 3: Para matrizes X,Y quadradas do mesmo tamanho, \operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}Y.
Vou usar a Propriedade 1 para simplificar A, e depois a Propriedade 3 na parte (c).
Passo 4
Aplicando operações de linha em A. Observação prática: a terceira linha de A é \begin{bmatrix}1&2&3&5\end{bmatrix}. Faço as operações (que não alteram o determinante):
Cálculo do determinante de A' (que é igual ao de A). Vou expandir por cofactores usando a primeira coluna de A'. Na primeira coluna de A' temos os elementos [0,0,1,0]^T. Só o elemento da terceira linha é não nulo, então
onde M_{3,1} é o menor obtido eliminando a terceira linha e a primeira coluna (ou seja, o determinante da submatriz 3\times3 formada pelas linhas 1,2,4 e colunas 2,3,4). O sinal é (-1)^{3+1}=+1. Logo
Calculemos o determinante do 3\times3 acima. É conveniente expandir por sua terceira linha, que é [0,0,1]. Usando expansão por cofactores na terceira linha:
Aqui foi importante ter mantido controle das operações de linha (usamos apenas operações que preservam o determinante), então o valor final é válido para A.
Passo 8
Resposta à parte (b) — invertibilidade: a condição para uma matriz quadrada ser invertível é que o seu determinante seja diferente de 0. Como encontramos \operatorname{det}A = -1 \neq 0, a matriz A é invertível. (Explicação curta: existir A^{-1} é equivalente a \operatorname{det}A\neq 0.)
Passo 9
Parte (c): calcular \operatorname{det}B sabendo que A B = R. Usamos a propriedade multiplicativa do determinante:
\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}A \cdot \operatorname{det}B.
Pelo enunciado \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}R. Então