Questão 3 Considere V=\mathbb{R}^{n}. Mostre que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é subespaço vetorial de V. O que podemos dizer se o sistema não for homogêneo?
Lembrete: Um sistema linear é dito ser homogêneo se é da forma
\left\{\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \cdots & + & a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \cdots & + & a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\\ \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & \vdots \\\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \cdots & + & a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{array}\right.
Dica: Use a equação matricial do sistema.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Mostrar que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^{n}.
  2. Dizer o que ocorre quando o sistema não é homogêneo (ou seja, tem termos independentes não nulos).
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar:
  • O sistema homogêneo pode ser escrito na forma matricial \,A x = 0, onde A é a matriz m\times n dos coeficientes e x\in\mathbb{R}^{n} é o vetor das incógnitas.
  • Há a dica explícita de usar a equação matricial do sistema.

Passo 2

Definimos formalmente o conjunto solução do sistema homogêneo. Seja A a matriz m\times n. Definimos
S=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid A x = 0\}.
Esse conjunto S é exatamente o conjunto de vetores x que satisfazem todas as equações do sistema. Outra maneira de chamar S é o núcleo (ou nullspace) da transformação linear associada a A.

Passo 3

Recordando a definição prática de subespaço vetorial: um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{n} é subespaço se e somente se satisfaça três propriedades (que são fáceis de verificar e que asseguram as leis de espaço vetorial restringidas):
  1. W não é vazio (tipicamente verificamos que 0\in W);
  2. W é fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c u\in W.
Vamos verificar essas três propriedades para S.

Passo 4

Verificação da não vacuidade (presença do vetor zero).
Mostramos que 0\in S. De fato, pela multiplicação matricial temos
A\cdot 0 = 0,
pois multiplicar uma matriz por o vetor zero dá o vetor nulo. Logo 0 satisfaz A x=0 e portanto 0\in S. Então S não é vazio.

Passo 5

Fechamento por soma.
Sejam u,v\in S. Isso significa que A u = 0 e A v = 0. Pela linearidade do produto matriz-vetor temos
A(u+v)=A u + A v = 0 + 0 = 0.
Portanto u+v também satisfaz A x=0, ou seja u+v\in S. Assim S é fechado por soma.

Passo 6

Fechamento por multiplicação escalar.
Seja u\in S e c\in\mathbb{R}. Novamente pela propriedade da multiplicação matricial,
A(cu)=c(Au)=c\cdot 0 = 0.
Logo c u\in S. Assim S é fechado por multiplicação escalar.

Passo 7

Conclusão do caso homogêneo.
Como S contém o vetor nulo, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{n}. Intuitivamente: a solução do sistema homogêneo é o núcleo da transformação linear x\mapsto A x, e núcleos são subespaços.

Passo 8

Agora tratamos o caso não homogêneo. Seja o sistema
A x = b,
com b\in\mathbb{R}^{m}. Denotamos pelo conjunto solução
T=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid A x = b\}.
Existem dois cenários principais:

Passo 9

Caso 1 — o sistema é inconsistente (não tem solução).
Se não existe x tal que A x=b, então T=\varnothing. O conjunto vazio não é subespaço (por convenção de subespaço exigimos que contenha o vetor zero), logo não é subespaço vetorial.

Passo 10

Caso 2 — o sistema tem pelo menos uma solução particular.
Suponha x_{p} é um problema solução particular, isto é A x_{p}=b. Vamos caracterizar todas as soluções. Seja x qualquer vetor. Então
A x = b \quad\Longleftrightarrow\quad A(x-x_{p}) = A x - A x_{p} = b - b = 0.
Isto mostra que x é solução de A x=b se e somente se x-x_{p}\in\ker(A)=S. Portanto o conjunto de todas as soluções é
T = x_{p} + \ker(A) = \{x_{p} + v \mid v\in\ker(A)\}.
Ou seja, T é um deslocamento (ou translação) do subespaço \ker(A) pelo vetor x_{p}.

Passo 11

Interpretação e consequência importante.
Qualquer conjunto da forma x_{p}+\ker(A) é um subespaço somente se x_{p}=0. Se b\neq 0 geralmente x_{p}\neq 0 e, em particular, 0\notin T (porque A0=0\neq b), então T não é subespaço vetorial. Em resumo:
  • Se b=0 o sistema é homogêneo e T=\ker(A) é subespaço.
  • Se b\neq 0 e o sistema tem solução, o conjunto solução é uma subvariedade afim (um “plano” ou affine subspace) — isto é, uma translação de um subespaço — e não é um subespaço linear, pois falta conter o vetor zero.

Passo 12

Exemplo rápido (para fixar): considere A=[1\;0] como matriz 1\times 2.
  • Homogêneo A x = 0 x_{1}=0. Conjunto solução \{(0,x_{2})\mid x_{2}\in\mathbb{R}\}, que é um subespaço (reta contendo origem).
  • Não homogêneo A x = 1 x_{1}=1. Conjunto solução \{(1,x_{2})\mid x_{2}\in\mathbb{R}\}, que é uma reta paralela à anterior mas deslocada; não contém o zero, logo não é subespaço, mas é uma translação do subespaço núcleo.

Resposta

O conjunto solução do sistema homogêneo A x = 0 é o conjunto
\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid A x = 0\}, que contém 0 e é fechado sob soma e multiplicação escalar; portanto é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{n}.
Se o sistema não for homogêneo A x = b, então ou não tem solução (o conjunto solução é vazio) ou tem soluções; se houver pelo menos uma solução x_{p} então o conjunto solução é
\{x_{p}+v\mid v\in\ker(A)\}, isto é, uma translação do subespaço \ker(A) (uma subvariedade afim) — em geral não é subespaço linear, salvo no caso b=0.

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