Determine e, se possível, classifique em um tipo especial as seguintes matrizes:
D=\left[d_{i j}\right]_{3 \times 3} tal que d_{i j}=\left\{\begin{array}{cl}i^{2}-2, & \text { se } i=j \\\\ 0, & \text { se } i \neq j\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz D=[d_{ij}]_{3\times3} definida por
d_{ij} = \begin{cases} i^2 - 2, & \text{se } i=j,\\\\ 0, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
O conteúdo aqui é reconhecer que essa fórmula gera uma matriz diagonal e depois ver que tipo especial de matriz diagonal ela é (simétrica, invertível, definida etc.).

Passo 2

Vamos calcular as entradas da diagonal principal:
d_{11} = 1^2 - 2 = -1,\quad d_{22} = 2^2 - 2 = 2,\quad d_{33} = 3^2 - 2 = 7.

Passo 3

Logo, explicitamente,
D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}.
Por construção, toda entrada fora da diagonal é zero, então D é de fato uma matriz diagonal.

Passo 4

Qualquer matriz diagonal real satisfaz D^T = D, ou seja, é simétrica. Além disso, matrizes simétricas são sempre normais (comutam com sua transposta).

Passo 5

O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal:
\det(D) = (-1)\cdot 2 \cdot 7 = -14 \neq 0,
então D é invertível.
Para verificar a definitude, olhamos os sinais dos autovalores (que são os próprios elementos da diagonal): temos um autovalor negativo ( -1) e dois positivos ( 2 e 7), logo D é indefinida (nem positiva nem negativa definida).

Resposta

D = \mathrm{diag}(-1,2,7), matriz diagonal, simétrica, normal, invertível (determinante -14) e indefinida.

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