Determine e, se possível, classifique em um tipo especial as seguintes matrizes: D=\left[d_{i j}\right]_{3 \times 3} tal que d_{i j}=\left\{\begin{array}{cl}i^{2}-2, & \text { se } i=j \\\\ 0, & \text { se } i \neq j\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz D=[d_{ij}]_{3\times3} definida por
O conteúdo aqui é reconhecer que essa fórmula gera uma matriz diagonal e depois ver que tipo especial de matriz diagonal ela é (simétrica, invertível, definida etc.).
Por construção, toda entrada fora da diagonal é zero, então D é de fato uma matriz diagonal.
Passo 4
Qualquer matriz diagonal real satisfaz D^T = D, ou seja, é simétrica. Além disso, matrizes simétricas são sempre normais (comutam com sua transposta).
Passo 5
O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal:
\det(D) = (-1)\cdot 2 \cdot 7 = -14 \neq 0,
então D é invertível.
Para verificar a definitude, olhamos os sinais dos autovalores (que são os próprios elementos da diagonal): temos um autovalor negativo (-1) e dois positivos (2 e 7), logo D é indefinida (nem positiva nem negativa definida).
Resposta
D = \mathrm{diag}(-1,2,7), matriz diagonal, simétrica, normal, invertível (determinante -14) e indefinida.