Determine e, se possível, classifique em um tipo especial as seguintes matrizes:
C=\left[c_{i j}\right]_{3 \times 3} tal que c_{i j}=i^{2}+j^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para montar a matriz C=[c_{ij}]_{3\times3} definida por
c_{ij}=i^2+j^2,
e, depois, verificar se ela se encaixa num tipo especial (por exemplo simétrica, singular, idempotente, etc.). Para isso vamos primeiro escrever os seus elementos, depois checar simetria, calcular o determinante para ver se é invertível e, por fim, classificar seu posto e definitude.

Passo 2

Para cada par (i,j) com i,j\in\{1,2,3\} calculamos
c_{ij}=i^2+j^2.
Assim:
– Linha i=1:
c_{11}=1^2+1^2=2,\quad c_{12}=1^2+2^2=5,\quad c_{13}=1^2+3^2=10.
– Linha i=2:
c_{21}=2^2+1^2=5,\quad c_{22}=2^2+2^2=8,\quad c_{23}=2^2+3^2=13.
– Linha i=3:
c_{31}=3^2+1^2=10,\quad c_{32}=3^2+2^2=13,\quad c_{33}=3^2+3^2=18.
Logo
C = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 10\\\\ 5 & 8 & 13\\\\ 10 & 13 & 18 \end{pmatrix}.

Passo 3

Observamos que c_{ij}=i^2+j^2=j^2+i^2=c_{ji}. Portanto C é uma matriz simétrica real. Como consequência, ela é diagonalizável por uma matriz ortogonal.

Passo 4

Para ver se C é invertível, calculamos o determinante:
\det\text{(C)} =\begin{vmatrix} 2 & 5 & 10\\\\ 5 & 8 & 13\\\\ 10 & 13 & 18 \end{vmatrix} =2\,(8\cdot18-13\cdot13) -5\,(5\cdot18-13\cdot10) +10\,(5\cdot13-8\cdot10).
Dentro dos parênteses:
8\cdot18-13^2=144-169=-25,\quad 5\cdot18-13\cdot10=90-130=-40,\quad 5\cdot13-8\cdot10=65-80=-15.
Logo
\det\text{(C)}=2(-25)-5(-40)+10(-15) =-50+200-150=0.
Portanto C é singular e não invertível.

Passo 5

Podemos também ver que C se decompõe como
C = u\,\mathbf{1}^T + \mathbf{1}\,u^T,
onde \mathbf{1}=(1,1,1)^T e u=(1^2,2^2,3^2)^T=(1,4,9)^T. Cada termo u\,\mathbf{1}^T e \mathbf{1}\,u^T tem posto 1, de modo que C tem posto no máximo 2. Como u não é múltiplo de \mathbf{1}, o posto de C é exatamente 2.

Passo 6

Para verificar a definitude, note que para x\in\mathbb{R}^3 vale
x^T C\,x =2\bigl(\sum_{i=1}^3 i^2 x_i\bigr)\,\bigl(\sum_{j=1}^3 x_j\bigr).
Escolhendo x de modo que \sum i^2x_i e \sum x_j tenham sinais opostos, x^T C\,x fica negativo. Assim C é indefinida (nem positiva nem negativa semidefinida).

Resposta

A matriz é
C = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 10\\\\ 5 & 8 & 13\\\\ 10 & 13 & 18 \end{pmatrix},
e ela é uma matriz real simétrica, singular (posto 2), diagonalizável ortogonalmente e indefinida.

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