Determine e, se possível, classifique em um tipo especial as seguintes matrizes: C=\left[c_{i j}\right]_{3 \times 3} tal que c_{i j}=i^{2}+j^{2}.
Passo 1
O enunciado pede para montar a matriz C=[c_{ij}]_{3\times3} definida por
c_{ij}=i^2+j^2,
e, depois, verificar se ela se encaixa num tipo especial (por exemplo simétrica, singular, idempotente, etc.). Para isso vamos primeiro escrever os seus elementos, depois checar simetria, calcular o determinante para ver se é invertível e, por fim, classificar seu posto e definitude.
Passo 2
Para cada par (i,j) com i,j\in\{1,2,3\} calculamos
Observamos que c_{ij}=i^2+j^2=j^2+i^2=c_{ji}. Portanto C é uma matriz simétrica real. Como consequência, ela é diagonalizável por uma matriz ortogonal.
Passo 4
Para ver se C é invertível, calculamos o determinante:
onde \mathbf{1}=(1,1,1)^T e u=(1^2,2^2,3^2)^T=(1,4,9)^T. Cada termo u\,\mathbf{1}^T e \mathbf{1}\,u^T tem posto 1, de modo que C tem posto no máximo 2. Como u não é múltiplo de \mathbf{1}, o posto de C é exatamente 2.
Passo 6
Para verificar a definitude, note que para x\in\mathbb{R}^3 vale
Escolhendo x de modo que \sum i^2x_i e \sum x_j tenham sinais opostos, x^T C\,x fica negativo. Assim C é indefinida (nem positiva nem negativa semidefinida).