O enunciado dá duas matrizes quadradas 4\times4, sendo A triangular superior e B triangular inferior, e pede:
(a) \det(AB), (b) A^{-1}, (c) B^{-1}, (d) (BA)^{-1} e (e) o valor de \det\text{(C)} sabendo que
C\,A^{T}=2\,B\,C^{2}.
Os conteúdos usados serão:
– para determinantes de matrizes triangulares, o produto dos elementos da diagonal;
– inversa de matriz triangular por substituição;
– \det(AB)=\det(A)\det(B) e (BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1};
– uso da propriedade \det(MN)=\det(M)\det(N) para obter uma equação em \det\text{(C)}.
Passo 2
Calcular \det(A) e \det(B). Como A é triangular superior,
\det(A)=1\cdot2\cdot4\cdot3=24.
Como B é triangular inferior,
\det(B)=(-3)\cdot(-4)\cdot(-1)\cdot(-2)=24.
Logo,
\det(AB)=\det(A)\,\det(B)=24\cdot24=576.
Passo 3
Determinar A^{-1}. Como A é triangular superior, resolvemos A\,X=I coluna a coluna por retro-substituição. O resultado é a matriz triangular superior