Dadas as matrizes \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 0 & 2\end{array}\right) e \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 4 & 6\end{array}\right), calcule e compare os resultados:
\mathbf{A}^{2}+\mathbf{B}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma \mathbf{A}^{2}+\mathbf{B}^{2}. As informações dadas são as matrizes
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}
e
\mathbf{B}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 6\end{pmatrix}.
Não há outras condições ou dados ocultos.]

Passo 2

Para começar, precisamos entender como calcular o quadrado de uma matriz. Se \mathbf{M} é uma matriz quadrada 2\times2, então \mathbf{M}^{2}=\mathbf{M}\mathbf{M} e o elemento de linha i e coluna j de \mathbf{M}^{2} é dado por
(\mathbf{M}^{2})_{ij}=\sum_{k=1}^{2} M_{ik}M_{kj}.
Aqui M_{ik} é o elemento da linha i, coluna k de \mathbf{M}. Para 2\times2 isso se traduz explicitamente em:
\begin{aligned} (\mathbf{M}^{2})_{11} &= M_{11}M_{11}+M_{12}M_{21},\\[4pt] (\mathbf{M}^{2})_{12} &= M_{11}M_{12}+M_{12}M_{22},\\[4pt] (\mathbf{M}^{2})_{21} &= M_{21}M_{11}+M_{22}M_{21},\\[4pt] (\mathbf{M}^{2})_{22} &= M_{21}M_{12}+M_{22}M_{22}. \end{aligned}
Vou aplicar essas fórmulas primeiro a \mathbf{A} e depois a \mathbf{B}.]

Passo 3

Calculemos \mathbf{A}^{2}=\mathbf{A}\mathbf{A}. Usamos a fórmula dos elementos para \mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Cálculo de cada entrada:
\begin{aligned} (\mathbf{A}^{2})_{11} &= 1\cdot 1 + 3\cdot 0 = 1 + 0 = 1,\\[4pt] (\mathbf{A}^{2})_{12} &= 1\cdot 3 + 3\cdot 2 = 3 + 6 = 9,\\[4pt] (\mathbf{A}^{2})_{21} &= 0\cdot 1 + 2\cdot 0 = 0 + 0 = 0,\\[4pt] (\mathbf{A}^{2})_{22} &= 0\cdot 3 + 2\cdot 2 = 0 + 4 = 4. \end{aligned}]

Passo 4

Portanto
\mathbf{A}^{2}=\begin{pmatrix}1 & 9\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculemos \mathbf{B}^{2}=\mathbf{B}\mathbf{B} para \mathbf{B}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & 6\end{pmatrix}.
Cálculo de cada entrada:
\begin{aligned} (\mathbf{B}^{2})_{11} &= 2\cdot 2 + 1\cdot 4 = 4 + 4 = 8,\\[4pt] (\mathbf{B}^{2})_{12} &= 2\cdot 1 + 1\cdot 6 = 2 + 6 = 8,\\[4pt] (\mathbf{B}^{2})_{21} &= 4\cdot 2 + 6\cdot 4 = 8 + 24 = 32,\\[4pt] (\mathbf{B}^{2})_{22} &= 4\cdot 1 + 6\cdot 6 = 4 + 36 = 40. \end{aligned}]

Passo 6

Portanto
\mathbf{B}^{2}=\begin{pmatrix}8 & 8\\[4pt]32 & 40\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora somamos as matrizes \mathbf{A}^{2} e \mathbf{B}^{2}. A adição de matrizes é feita elemento a elemento; se
\mathbf{C}=\mathbf{A}^{2}+\mathbf{B}^{2}, então C_{ij}=(\mathbf{A}^{2})_{ij}+(\mathbf{B}^{2})_{ij}.
Calculemos cada entrada:
\begin{aligned} C_{11} &= 1 + 8 = 9,\\[4pt] C_{12} &= 9 + 8 = 17,\\[4pt] C_{21} &= 0 + 32 = 32,\\[4pt] C_{22} &= 4 + 40 = 44. \end{aligned}]

Passo 8

Portanto a soma é
\mathbf{A}^{2}+\mathbf{B}^{2}=\begin{pmatrix}9 & 17\\[4pt]32 & 44\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}9 & 17\\[4pt]32 & 44\end{pmatrix}]

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