Considere as matrizes \mathbf{A}(3 \times 3), \mathbf{B}(3 \times 4) e \mathbf{C}(4 \times 2). Determine, se existir, o tipo (ordem) da matriz-produto:
\mathbf{B}^{\mathbf{t}} \cdot \mathbf{A}

Passo 1

O enunciado dá três matrizes e pede a ordem do produto \mathbf{B}^{\mathbf{t}}\cdot\mathbf{A}. Informações relevantes fornecidas:
  • \mathbf{A} é 3\times 3.
  • \mathbf{B} é 3\times 4.
  • \mathbf{C} é 4\times 2 (não será usada neste produto, mas está no enunciado).
    A pergunta é: existe o produto \mathbf{B}^{\mathbf{t}}\cdot\mathbf{A} e, se existir, qual é a ordem (tipo) da matriz resultante?

Passo 2

Regra sobre transposta: se uma matriz \mathbf{M} tem ordem m\times n, então a transposta \mathbf{M}^{t} tem ordem n\times m.
Aplicando isso a \mathbf{B}: como \mathbf{B} é 3\times 4, temos
\mathbf{B}^{t}\text{ é }4\times 3.é
Explicação curta: trocar linhas por colunas inverte as dimensões.

Passo 3

Regra para multiplicação de matrizes: se \mathbf{X} é p\times q e \mathbf{Y} é r\times s, então o produto \mathbf{X}\mathbf{Y} existe se, e somente se, q=r. Nesse caso o resultado tem ordem p\times s.
Justificativa com índices: o elemento (i,j) de \mathbf{X}\mathbf{Y} é
(\mathbf{X}\mathbf{Y})_{ij}=\sum_{k=1}^{q} X_{ik}\,Y_{kj},
portanto precisamos somar sobre k que percorre 1,\dots,q, daí a condição q=r.

Passo 4

Agora aplicamos a regra às matrizes em questão: \mathbf{B}^{t} é 4\times 3 e \mathbf{A} é 3\times 3. Aqui o número de colunas de \mathbf{B}^{t} (que é 3) coincide com o número de linhas de \mathbf{A} (também 3), portanto o produto existe. Pelo formato da regra, o resultado terá ordem
4\times 3.
Também podemos escrever a fórmula do elemento geral para fixar a ideia:
(\mathbf{B}^{t}\mathbf{A})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} (\mathbf{B}^{t})_{ik}\,A_{kj}=\sum_{k=1}^{3} B_{ki}\,A_{kj},
onde usei (\mathbf{B}^{t})_{ik}=B_{ki} (propriedade da transposta).

Passo 5

Resumo e incentivo: o produto \mathbf{B}^{t}\mathbf{A} existe porque as dimensões batem (3 = 3) e resulta em uma matriz com 4 linhas e 3 colunas. Tá indo bem — lembrar a regra “colunas do primeiro = linhas do segundo” resolve muita questão de prova sobre ordem de produto.

Resposta

(4\times 3)

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