Considere as matrizes
e
. Determine, se existir, o tipo (ordem) da matriz-produto:
Passo 1
O enunciado dá três matrizes e pede a ordem do produto
. Informações relevantes fornecidas:
-
é . -
é . -
é (não será usada neste produto, mas está no enunciado).
A pergunta é: existe o produtoe, se existir, qual é a ordem (tipo) da matriz resultante?
Passo 2
Regra sobre transposta: se uma matriz
tem ordem
, então a transposta
tem ordem
.
Aplicando isso a : como
é
, temos
Aplicando isso a
Explicação curta: trocar linhas por colunas inverte as dimensões.
Passo 3
Regra para multiplicação de matrizes: se
é
e
é
, então o produto
existe se, e somente se,
. Nesse caso o resultado tem ordem
.
Justificativa com índices: o elemento de
é
Justificativa com índices: o elemento
portanto precisamos somar sobre
que percorre
, daí a condição
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra às matrizes em questão:
é
e
é
. Aqui o número de colunas de
(que é
) coincide com o número de linhas de
(também
), portanto o produto existe. Pelo formato da regra, o resultado terá ordem
Também podemos escrever a fórmula do elemento geral para fixar a ideia:
onde usei
(propriedade da transposta).
Passo 5
Resumo e incentivo: o produto
existe porque as dimensões batem (3 = 3) e resulta em uma matriz com 4 linhas e 3 colunas. Tá indo bem — lembrar a regra “colunas do primeiro = linhas do segundo” resolve muita questão de prova sobre ordem de produto.