\mathcal{A}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & x & y \\\\ -x & 0 & z \\\\ -y & -z & 0 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad \mathcal{B}=\left(\begin{array}{ccc} x & y+z & 1 \\\ y & x+z & 1 \\\ z & x+y & 1 \end{array}\right)
Escreva uma linha das matrizes acima como combinação linear das outras linhas e também uma coluna como combinação das demais colunas. Conclua que \operatorname{det} \mathcal{A}=0 e \operatorname{det} \mathcal{B}=0 para quaisquer x, y, z \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes 3\times3:
\mathcal{A}=\begin{pmatrix} 0 & x & y \\\\ -x & 0 & z \\\\ -y & -z & 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathcal{B}=\begin{pmatrix} x & y+z & 1 \\\ y & x+z & 1 \\\ z & x+y & 1 \end{pmatrix},
com x,y,z\in\mathbb{R}.
O que devemos fazer:
escrever uma linha de cada matriz como combinação linear das outras linhas (ou, equivalentemente, apresentar uma relação linear não-trivial entre as linhas);
escrever uma coluna de cada matriz como combinação linear das demais colunas (ou apresentar uma relação linear não-trivial entre as colunas);
concluir que \det\mathcal{A}=0 e \det\mathcal{B}=0 para quaisquer x,y,z.
Listo as informações importantes fornecidas:
As entradas das matrizes estão todas expressas em função de x,y,z.
Não há nenhuma restrição sobre x,y,z (podem ser quaisquer reais).
O objetivo final é mostrar que ambas as matrizes têm determinante nulo, usando dependência linear de linhas/colunas.
Passo 2
Primeiro vou explicar rapidamente o que significa “uma linha é combinação linear das outras”: dizer que, por exemplo, a terceira linha R_3 é combinação linear de R_1 e R_2 significa que existem escalares a,b tais que
R_3 = a\,R_1 + b\,R_2,
ou, de forma equivalente, existe uma relação linear não-trivial
\alpha R_1 + \beta R_2 + \gamma R_3 = 0
com (\alpha,\beta,\gamma)\neq(0,0,0). Se isso ocorre, as linhas são linearmente dependentes e a matriz tem posto menor que 3; daí \det=0. Vou usar exatamente essa ideia nas duas matrizes.
Passo 3
Trato primeiro da matriz \mathcal{A}. Chamo as linhas de \mathcal{A} de
Isto é uma relação linear não-trivial entre as linhas (os coeficientes não são todos zero, salvo no caso trivial x=y=z=0 onde a matriz é a zero). Assim as linhas de \mathcal{A} são linearmente dependentes. Em particular, pode-se escrever qualquer uma das linhas como combinação linear das outras (por exemplo, isolando R_1:
z R_1 = y R_2 - x R_3 \quad\Rightarrow\quad R_1 = \frac{y}{z}R_2 - \frac{x}{z}R_3
quando z\neq 0; mas não é necessário dividir — a relação homogênea já prova a dependência para todos os x,y,z).
Passo 4
Ainda para \mathcal{A}, a mesma relação entre linhas, ao transpô-la, dá uma relação entre colunas. Denotando as colunas por
Logo também existe uma coluna que é combinação linear das outras duas (ou, melhor, as três colunas são linearmente dependentes). Isso reforça que \mathcal{A} não tem posto completo.
Passo 5
Agora explico por que essa dependência implica \det\mathcal{A}=0: por definição (ou por propriedades básicas), o determinante de uma matriz 3\times3 é uma função multilinear das linhas (ou das colunas) e vale zero sempre que as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes. Intuitivamente: se uma linha é combinação das outras, a matriz representa uma transformação linear que “aplana” o espaço para um plano (posto <3), portanto não é invertível e seu determinante é zero. Assim concluímos
(y-z)x + (z-x)y + (x-y)z = xy - xz + yz - xy + xz - yz = 0.
Segunda coordenada:
(y-z)(y+z) + (z-x)(x+z) + (x-y)(x+y).
Expande-se cada termo:
(y^2 - z^2) + (z x + z^2 - x^2 - xz) + (x^2 + xy - yx - y^2)=0,
pois os termos se cancelam par a par. Logo a soma é zero. Assim as linhas são linearmente dependentes também.
Passo 8
Como já argumentado antes, existência de relação linear não-trivial entre linhas (ou entre colunas) implica que a matriz tem posto estritamente menor que 3 e, portanto, determinante zero. Aplicando isso ao caso de \mathcal{B} obtemos