Mostre que os vetores \left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right) e \left(a_{3}, b_{3}, c_{3}\right) são L.l. se, e somente se, x=y=z=0 é a única solução do sistema.
e pede para mostrar a equivalência entre duas afirmações:
Os vetores \left(a_{1},b_{1},c_{1}\right),\left(a_{2},b_{2},c_{2}\right),\left(a_{3},b_{3},c_{3}\right) são linearmente independentes (abreviado L.l.).
A única solução do sistema homogêneo é \,x=y=z=0.
Listei o que foi dado (o sistema e os três vetores) e o que é preciso provar (a equivalência das duas afirmações).]
Passo 2
Definição e tradução do problema para o português claro: dizer que os vetores \displaystyle v_{1}=\left(a_{1},b_{1},c_{1}\right),\;v_{2}=\left(a_{2},b_{2},c_{2}\right),\;v_{3}=\left(a_{3},b_{3},c_{3}\right)
são linearmente independentes significa, por definição, que a única solução do sistema vetorial
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0
é \alpha=\beta=\gamma=0. Aqui 0 à direita é o vetor nulo (0,0,0). Vou mostrar que esse sistema vetorial é exatamente o mesmo que o sistema escalar dado se identificarmos \alpha,\beta,\gamma com x,y,z.
Explicação didática rápida: quando se diz que uma combinação linear de vetores dá o vetor nulo, isso significa que cada componente dessa combinação é zero — ou seja, dá um sistema de equações escalares. É exatamente essa observação que liga independência linear com soluções do sistema homogêneo.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear componente a componente: a igualdade
Note que este sistema é exatamente do mesmo tipo do enunciado; é só uma reorganização dos índices. Se agora fazemos a identificação \alpha=x,\;\beta=y,\;\gamma=z, vemos que a condição \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0 é equivalente a que (x,y,z) seja uma solução do sistema homogêneo dado.]
Passo 4
Provar a implicação direta: se v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes então a única solução da combinação linear é \alpha=\beta=\gamma=0. Pela identificação do passo anterior isto diz exatamente que a única solução do sistema homogêneo é \,x=y=z=0. Portanto independência linear implica unicidade da solução trivial.
Provar a implicação recíproca: se a única solução do sistema homogêneo é \,x=y=z=0, então, pela mesma identificação, a única solução da igualdade vetorial \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0 é \alpha=\beta=\gamma=0. Isso é exatamente a definição de independência linear. Logo a unicidade da solução trivial implica que v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.
As duas implicações mostram a equivalência completa.
Passo 5
Resumo didático final (tipo dica para a prova): para verificar se três vetores em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes, monte a combinação linear \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0 e veja se o sistema resultante só admite a solução trivial. Esse sistema é precisamente o sistema homogêneo cujos coeficientes aparecem nas componentes dos vetores. Se só tiver solução trivial, são independentes; se existir solução não trivial, são dependentes.
Resposta
Os vetores \left(a_{1},b_{1},c_{1}\right),\left(a_{2},b_{2},c_{2}\right),\left(a_{3},b_{3},c_{3}\right) são linearmente independentes se, e somente se, \;x=y=z=0\; é a única solução do sistema.