Considere as matrizes
N=[ccc 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7 ], R=[ll 1 & 1 0 & 2 ] cdot[cc 1 & 0 1 & 2 ]
Se possível, escreva R e sua inversa como produto de matrizes elementares.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
R = 1&10&2 ;1&01&2
e sua inversa como produto de matrizes elementares. O conteúdo aqui é a fatoração de matrizes invertíveis em matrizes elementares, usando operações elementares de linha sobre a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro calculamos
R = 1&10&2 1&01&2 = 1cdot1+1cdot1 & 1cdot0+1cdot2[6pt] 0cdot1+2cdot1 & 0cdot0+2cdot2 = 2&22&4 ]

Passo 3

Para escrever R como produto de matrizes elementares, partimos de I2 e aplicamos quatro operações de linha:
1. R1to2,R1 2. R2to2,R2 3. R1to R1+R2 4. R2to R2+R1
Cada operação corresponde a uma matriz elementar Ei:
E1=2&00&1, E2=1&00&2, E3=1&10&1, E4=1&01&1
Assim,
R ;=; E4,E3,E2,E1

Passo 4

Para obter R^-1, usamos que
R^-1 = l(E4,E3,E2,E1r)^-1 = E1^-1,E2^-1,E3^-1,E4^-1,
onde as inversas das elementares são:
E1^-1=tfrac12&00&1, E2^-1=1&00&tfrac12, E3^-1=1&-10&1, E4^-1=1&0-1&1

Resposta

R = 1&01&1 1&10&1 1&00&2 2&00&1,
R^-1= tfrac12&00&1 1&00&tfrac12 1&-10&1 1&0-1&1

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