Considere as matrizes
N=[ccc 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7 ], R=[ll 1 & 1 0 & 2 ] cdot[cc 1 & 0 1 & 2 ]
Seja A uma matriz invertível de ordem n times n. Mostre que, para qualquer matriz B de ordem m times n, existe uma matriz X de ordem n times m tal que A cdot X=B.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz invertível A de ordem ntimes n e uma matriz B de ordem ntimes m. Queremos encontrar uma matriz X de ordem ntimes m tal que
A,X = B
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e propriedade de matriz inversa.

Passo 2

Por definição de invertibilidade, existe uma matriz inversa A^-1 de ordem ntimes n que satisfaz
A^-1A = In,
onde In é a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

Se A,X = B, basta multiplicar essa igualdade à esquerda por A^-1:
A^-1(A,X) = A^-1B
Pela associatividade e por A^-1A=In, obtemos
In,X = A^-1B Longrightarrow X = A^-1B

Resposta

Uma escolha que funciona é
X = A^-1B,
que de fato tem ordem ntimes m e satisfaz A,X=B.

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