Considere o sistema linear nas variáveis x, y, z dado por:
c x-2 y-4 z=2 a x+2 y-a z=0 x+2 a y-10 z=b +[ccc 1 & -2 & -4 1 & 2 & -1 1 & 2 & -10 ]=[l 2 0 1 ]
Determine os valores de a e b para os quais o sistema possui infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em (x,y,z) com parâmetros a e b e pede para encontrar os valores de a e b que tornam o sistema compatível indeterminado (infinitas soluções). O conteúdo-chave aqui é:
  1. Para ter infinitas soluções, é preciso que a matriz dos coeficientes A seja singular, ou seja, det(A)=0.
  2. Além disso, a matriz aumentada deve ter o mesmo posto de A, garantindo compatibilidade.

Passo 2

Vamos montar
A= 1 & -2 & -4 a & 2 & -a 1 & 2a & -10
e calcular
det(A) =1cdotdet2 & -a2a & -10 -(-2)cdotdeta & -a1 & -10 +(-4)cdotdeta & 21 & 2a
Computando cada menor, chega-se a
det(A)=-6,(a+1),(a+2)
Logo, det(A)=0 exatamente para
a=-1ou a=-2

Passo 3

Para cada valor de
Como o posto de e , e da constante .

Passo 4

Agora
De novo impomos
e , e, portanto, .

Resposta

Os valores que dão infinitas soluções são
(a,b)=(-1,6)ou(a,b)=(-2,6)

Exercícios relacionados