Seja A uma matriz 3 times 3 invertível dada por:
A=[ccc 2 & -1 & 0 3 & 4 & 1 0 & -2 & 5 ] cdot[ccc 2 & 3 & 0 -1 & 4 & -2 0 & 1 & 5 ]^-1 [ccc -2 & -3 & 0 1 & -4 & 2 0 & -1 & -5 ]
Determine, sem calcular A^-1,((159 cdot A)^-1)^T. Justifique as propriedades usadas.

Passo 1

O enunciado define
A = 2 & -1 & 0 3 & 4 & 1 0 & -2 & 5 cdot 2 & 3 & 0 -1 & 4 & -2 0 & 1 & 5 ^-1 = -2 & -3 & 0 1 & -4 & 2 0 & -1 & -5
e pede
l(l(tfrac159,Ar)^-1r)^T
Para resolver, vamos usar duas propriedades fundamentais de matrizes invertíveis:
  1. l(cAr)^-1 = tfrac1c,A^-1 para escalar cneq0.
  2. l(X^-1r)^T = l(X^Tr)^-1.

Passo 2

Aplicando a propriedade de inverso de múltiplo escalar com c=tfrac159, temos
l(tfrac159,Ar)^-1 =59,A^-1

Passo 3

Agora tomamos a transposta desse resultado, usando que l(59,A^-1r)^T=59,(A^-1)^T. Logo
l(l(tfrac159,Ar)^-1r)^T =59,(A^-1)^T

Passo 4

Por fim, aplicamos a propriedade da transposta do inverso: (A^-1)^T=(A^T)^-1. Assim
l(l(tfrac159,Ar)^-1r)^T =59,(A^T)^-1

Resposta

l(l(tfrac159,Ar)^-1r)^T =59,(A^T)^-1

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