Considere as matrizes A=(ai j)2 times 2, tal que ai j=lll2^i & se i neq j 3 i & se i=j e B=[llx & 2 1 & y], x e y reais. Verifique cada uma das sentenças, concluindo se é verdadeira ou falsa.
Se A cdot B=[cc5 & 4 10 & 2], então x+y=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes:
  • Matriz [A = \left(a_{ij}\right)_{2 \times 2}), onde:
  • Matriz e são números reais.
A gente precisa verificar se a afirmação "Se , então " é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos multiplicar as matrizes e , igualar ao resultado dado e resolver para e .

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz A . A matriz é 2 times 2 , então temos índices i e j que vão de 1 a 2.
Para i = 1 :
  • Se j neq 1 , então a1j = 2^1 = 2 .
  • Se j = 1 , então a11 = 3 times 1 = 3 .
Para i = 2 :
  • Se j neq 2 , então a2j = 2^2 = 4 .
  • Se j = 2 , então a22 = 3 times 2 = 6 .
Então, a matriz A fica:
A = 3 & 2 4 & 6

Passo 3

Agora, vamos multiplicar a matriz A pela matriz B . A multiplicação de matrizes é feita assim:
A cdot B = a11 cdot b11 + a12 cdot b21 & a11 cdot b12 + a12 cdot b22 a21 cdot b11 + a22 cdot b21 & a21 cdot b12 + a22 cdot b22
Substituindo os valores de A e B :
A cdot B = 3x + 2 times 1 & 3 times 2 + 2y 4x + 6 times 1 & 4 times 2 + 6y = 3x + 2 & 6 + 2y 4x + 6 & 8 + 6y

Passo 4

Segundo o enunciado, A cdot B = 5 & 4 10 & 2 . Então, vamos igualar cada posição correspondente:
  1. 3x + 2 = 5
  2. 6 + 2y = 4
  3. 4x + 6 = 10
  4. 8 + 6y = 2

Passo 5

Vamos resolver cada equação:
  1. 3x + 2 = 5
3x = 5 - 2 Rightarrow 3x = 3 Rightarrow x = 1
  1. 6 + 2y = 4
2y = 4 - 6 Rightarrow 2y = -2 Rightarrow y = -1
  1. 4x + 6 = 10
4x = 10 - 6 Rightarrow 4x = 4 Rightarrow x = 1
  1. 8 + 6y = 2
6y = 2 - 8 Rightarrow 6y = -6 Rightarrow y = -1
Perceba que os valores de x e y estão consistentes nas quatro equações, confirmando que x = 1 e y = -1 .

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois x + y = 1 + (-1) = 0 .

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