Considere as matrizes , tal que e B=[llx & 2 1 & y], x e y reais. Verifique cada uma das sentenças, concluindo se é verdadeira ou falsa.
A matriz inversa de A é [cc35 & -15 -25 & 310]
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, [A) e , onde é uma matriz definida por:
E dada por:
A questão quer que a gente verifique se a matriz inversa de é igual a:
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a matriz inversa de uma matriz e comparar com a matriz fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz A com as informações dadas. Sabemos que:
Se i neq j , então aij = 2^i
Se i = j , então aij = 3i
Como A é uma matriz 2 times 2 , temos i, j in 1, 2 .
Vamos preencher cada elemento:
a11 : i = j = 1 , então 3 times 1 = 3
a12 : i = 1 , j = 2 , i neq j , então 2^1 = 2
a21 : i = 2 , j = 1 , i neq j , então 2^2 = 4
a22 : i = j = 2 , então 3 times 2 = 6
Portanto, a matriz A é:
A = 3 & 2 4 & 6
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de A , que é essencial para encontrar a inversa. O determinante de uma matriz 2 times 2 a & b c & d é dado por:
det(A) = ad - bc
Aplicando isso à nossa matriz A :
det(A) = (3)(6) - (2)(4) = 18 - 8 = 10
Passo 4
Como o determinante de A é 10, que é diferente de zero, sabemos que A é invertível. Se o determinante fosse zero, a matriz não teria inversa.
Passo 5
Vamos usar a fórmula da inversa de uma matriz 2 times 2 . Para uma matriz A = a & b c & d , a inversa é dada por:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Aplicando isso à nossa matriz A :
A^-1 = 110 6 & -2 -4 & 3 = 610 & -210 -410 & 310
Simplificando as frações:
A^-1 = 35 & -15 -25 & 310
Resposta
A afirmação é verdadeira. A matriz inversa de A é realmente: