7- Considere um médico residente ponderando acerca do seguinte dilema: “Se estou pelo menos
certo de que meu paciente tem essa doença, então sempre recomendo cirurgia. Do contrário, se não estiver tão certo, recomendo testes adicionais que são caros e às vezes dolorosos. Como inicialmente eu tinha apenas
de certeza de que Jonas estava doente, eu pedi o teste tipo A, que sempre dá um resultado positivo quando o paciente tem a doença e quase nunca dá falso positivo. O resultado do teste foi positivo e eu estava prestes a recomendar a cirurgia quando Jonas me informou, pela primeira vez, que era diabético. A informação complica a questão porque, embora não altere a minha estimativa inicial de
de chances de ele ter a doença em questão, o diabetes altera a interpretação dos resultados do teste A . Isso ocorre porque o teste A , embora quase nunca leve a um resultado falso positivo, infelizmente dá positivo em
dos casos quando o paciente é diabético e não sofre da doença em questão. O que faço agora? Mais testes ou cirurgia imediata?”. Baseado nos dados fornecidos pelo problema o que o médico deve fazer? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta o que o médico deve fazer: recomendar cirurgia imediata ou pedir mais testes, com base nas informações dadas. Informações relevantes (tudo que o enunciado deu):
- A regra decidida pelo médico é: “Se eu estiver pelo menos
certo da doença, então recomendo cirurgia; caso contrário, peço testes adicionais.” - A estimativa inicial (prior) de que Jonas tem a doença é
. Ou seja, . - O médico pediu o teste tipo A e obteve resultado positivo.
- O teste A tem sensibilidade perfeita: “sempre dá positivo quando o paciente tem a doença”. Ou seja,
. - O teste A raramente dá falso positivo em pacientes não diabéticos, mas para pacientes diabéticos (informação nova) o teste dá positivo em
dos casos quando o paciente NÃO tem a doença. Ou seja, para diabéticos . - O enunciado afirma explicitamente que o fato de Jonas ser diabético NÃO altera a estimativa inicial de
(o prior permanece ).
Passo 2
O que precisamos calcular para decidir: a probabilidade posterior de que Jonas tenha a doença dado que o teste foi positivo e que ele é diabético, ou seja
. Se essa probabilidade for maior ou igual a
o médico deve operar; se for menor, deve pedir mais testes.
Passo 3
Ferramenta que vamos usar (explicação didática): a Regra de Bayes. Ela permite atualizar uma probabilidade inicial (
) usando a informação do teste. A fórmula geral é:
Explicando cada termo:
-
é a probabilidade a priori (antes do teste) de a pessoa ter a doença. -
é a probabilidade de o teste ser positivo se a pessoa tem a doença (sensibilidade). -
é a probabilidade de o teste ser positivo se a pessoa não tem a doença (taxa de falso positivo). -
.
No nosso caso precisamos aplicar essa fórmula condicionada ao fato de que Jonas é diabético — portanto usamos a taxa de falso positivo específica para diabéticos.
Passo 4
Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
-
. -
. -
. - Para diabéticos,
.
Aplicando Bayes:
Passo 5
Calculemos o denominador com calma:
-
. -
.
Então o denominador é.
Logo:
Passo 6
Agora simplificamos a fração:
Convertendo para porcentagem:
(ou, em fração exata,
).
Passo 7
Verificação por interpretação em termos de frequência (chega mais intuitivo): imagine
pacientes iguais a Jonas, com prior
têm a doença e
não têm. Dos
que têm a doença, o teste dá positivo em todos (sensibilidade
) →
positivos. Dos
que não têm, por serem diabéticos,
dão positivo →
falsos positivos. Total de positivos =
. Fraction que realmente têm doença entre os positivos =
. Confere com o cálculo anterior.
Passo 8
Comparação com a regra do médico: a probabilidade posterior de
é maior que o limiar de
. Portanto, de acordo com a própria regra do médico (“Se estou pelo menos
certo …”), o médico deveria recomendar cirurgia imediatamente.
Resposta
Recomendar cirurgia imediata, pois
.