7- Considere um médico residente ponderando acerca do seguinte dilema: “Se estou pelo menos 80 \% certo de que meu paciente tem essa doença, então sempre recomendo cirurgia. Do contrário, se não estiver tão certo, recomendo testes adicionais que são caros e às vezes dolorosos. Como inicialmente eu tinha apenas 60 \% de certeza de que Jonas estava doente, eu pedi o teste tipo A, que sempre dá um resultado positivo quando o paciente tem a doença e quase nunca dá falso positivo. O resultado do teste foi positivo e eu estava prestes a recomendar a cirurgia quando Jonas me informou, pela primeira vez, que era diabético. A informação complica a questão porque, embora não altere a minha estimativa inicial de 60 \% de chances de ele ter a doença em questão, o diabetes altera a interpretação dos resultados do teste A . Isso ocorre porque o teste A , embora quase nunca leve a um resultado falso positivo, infelizmente dá positivo em 30 \% dos casos quando o paciente é diabético e não sofre da doença em questão. O que faço agora? Mais testes ou cirurgia imediata?”. Baseado nos dados fornecidos pelo problema o que o médico deve fazer? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta o que o médico deve fazer: recomendar cirurgia imediata ou pedir mais testes, com base nas informações dadas. Informações relevantes (tudo que o enunciado deu):
  • A regra decidida pelo médico é: “Se eu estiver pelo menos 80\% certo da doença, então recomendo cirurgia; caso contrário, peço testes adicionais.”
  • A estimativa inicial (prior) de que Jonas tem a doença é 60\%. Ou seja, P(\text{doença})=0,60ç.
  • O médico pediu o teste tipo A e obteve resultado positivo.
  • O teste A tem sensibilidade perfeita: “sempre dá positivo quando o paciente tem a doença”. Ou seja, P(+\mid \text{doença})=1ç.
  • O teste A raramente dá falso positivo em pacientes não diabéticos, mas para pacientes diabéticos (informação nova) o teste dá positivo em 30\% dos casos quando o paciente NÃO tem a doença. Ou seja, para diabéticos P(+\mid \text{não doença})=0,30ãç.
  • O enunciado afirma explicitamente que o fato de Jonas ser diabético NÃO altera a estimativa inicial de 60\% (o prior permanece 0,60).

Passo 2

O que precisamos calcular para decidir: a probabilidade posterior de que Jonas tenha a doença dado que o teste foi positivo e que ele é diabético, ou seja P(\text{doença}\mid +, \text{diabético})çé. Se essa probabilidade for maior ou igual a 80\% o médico deve operar; se for menor, deve pedir mais testes.

Passo 3

Ferramenta que vamos usar (explicação didática): a Regra de Bayes. Ela permite atualizar uma probabilidade inicial ( P(\text{doença})ç) usando a informação do teste. A fórmula geral é:
P(\text{doença}\mid +) = \frac{P(+\mid \text{doença})\,P(\text{doença})}{P(+\mid \text{doença})\,P(\text{doença}) + P(+\mid \text{não doença})\,P(\text{não doença})}.çççççãçãç
Explicando cada termo:
  • P(\text{doença})ç é a probabilidade a priori (antes do teste) de a pessoa ter a doença.
  • P(+\mid \text{doença})ç é a probabilidade de o teste ser positivo se a pessoa tem a doença (sensibilidade).
  • P(+\mid \text{não doença})ãç é a probabilidade de o teste ser positivo se a pessoa não tem a doença (taxa de falso positivo).
  • P(\text{não doença}) = 1 - P(\text{doença})ãçç.
No nosso caso precisamos aplicar essa fórmula condicionada ao fato de que Jonas é diabético — portanto usamos a taxa de falso positivo específica para diabéticos.

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
  • P(\text{doença})=0,60ç.
  • P(\text{não doença})=1-0,60=0,40ãç.
  • P(+\mid \text{doença})=1ç.
  • Para diabéticos, P(+\mid \text{não doença})=0,30ãç.
Aplicando Bayes:
P(\text{doença}\mid +,\\ \text{diabético}) = \frac{1\cdot 0,60}{1\cdot 0,60 + 0,30\cdot 0,40}.çé

Passo 5

Calculemos o denominador com calma:
  • 1\cdot 0,60 = 0,60.
  • 0,30\cdot 0,40 = 0,12.
    Então o denominador é 0,60 + 0,12 = 0,72.
Logo:
P(\text{doença}\mid +,\\ \text{diabético}) = \frac{0,60}{0,72}.çé

Passo 6

Agora simplificamos a fração:
\frac{0,60}{0,72} = \frac{60}{72} = \frac{5}{6}.
Convertendo para porcentagem:
\frac{5}{6} = 0,8333\ldots = 83,33\%.
(ou, em fração exata, 83\frac{1}{3}\%).

Passo 7

Verificação por interpretação em termos de frequência (chega mais intuitivo): imagine 100 pacientes iguais a Jonas, com prior 60\% têm a doença e 40\% não têm. Dos 60 que têm a doença, o teste dá positivo em todos (sensibilidade 100\%) → 60 positivos. Dos 40 que não têm, por serem diabéticos, 30\% dão positivo → 0,30\times 40 = 12 falsos positivos. Total de positivos = 60+12=72. Fraction que realmente têm doença entre os positivos = 60/72 = 5/6 = 83,33\%. Confere com o cálculo anterior.

Passo 8

Comparação com a regra do médico: a probabilidade posterior de 83,33\% é maior que o limiar de 80\%. Portanto, de acordo com a própria regra do médico (“Se estou pelo menos 80\% certo …”), o médico deveria recomendar cirurgia imediatamente.

Resposta

Recomendar cirurgia imediata, pois P(\text{doença}\mid +,\\ \text{diabético})=\dfrac{5}{6}=83{,}33\%>80\%çé.

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