1- Uma companhia de seguros acredita que as pessoas podem ser divididas em duas categorias:
  1. aquelas que estão mais sujeitas a acidentes
  2. aquelas que não estão mais sujeitas a acidentes
Os dados indicam que uma pessoa da categoria 1 terá um acidente durante o período de um ano com probabilidade 0,1 . A probabilidade para todas as outras pessoas é 0,05 . Suponha que a probabilidade de um novo cliente pertencer a categoria 1 seja 0,2 .
a) Qual a probabilidade de que o novo cliente tenha um acidente durante o primeiro ano?
b) Se um novo cliente tem um acidente durante o primeiro ano, qual é a probabilidade de que ele pertença a categoria 1 ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) a probabilidade de que o novo cliente tenha um acidente durante o primeiro ano;
b) dado que o novo cliente teve um acidente no primeiro ano, a probabilidade de que ele pertença à categoria 1.
As informações fornecidas no enunciado são:
  • A probabilidade de um cliente pertencer à categoria 1 é \;P\text{(C)}=0,2\;. (Vou chamar de C o evento “cliente da categoria 1”.)
  • Há exatamente duas categorias, então a probabilidade de não pertencer à categoria 1 (categoria 2) é \;P(C^c)=1-0,2=0,8\;.
  • A probabilidade de um cliente da categoria 1 ter um acidente no ano é \;P(A\mid C)=0,1\;. (Vou chamar de A o evento “ter um acidente no primeiro ano”.)
  • A probabilidade de um cliente da categoria 2 ter um acidente no ano é \;P(A\mid C^c)=0,05\;.

Passo 2

Antes de calcular, preciso explicar duas ferramentas que vamos usar — nada de pânico, é tranquilo quando a gente entende o sentido.
  1. Definição de probabilidade condicional. Para eventos X e Y, \;P(X\mid Y)\; é a probabilidade de X ocorrer sabendo que Y ocorreu. Por exemplo, \;P(A\mid C)\; é a probabilidade de acidente sabendo que o cliente é da categoria 1.
  2. Teorema da probabilidade total. Quando um evento A pode acontecer em dois (ou mais) casos mutuamente exclusivos que cobrem todo o espaço — aqui, ser da categoria C ou C^c — então
P(A)=P(A\mid C)P\text{(C)}+P(A\mid C^c)P(C^c).
Esse teorema calcula a probabilidade total de A somando as contribuições de cada caso possível.
  1. Teorema de Bayes (usaremos em seguida). Para inverter uma condicional:
P(C\mid A)=\frac{P(A\mid C)P\text{(C)}}{P(A)}.
Aqui P(A) é a probabilidade total do passo anterior.
Agora que sabemos o que cada símbolo significa e quais fórmulas usar, vamos calcular.

Passo 3

Calcular a probabilidade de que o novo cliente tenha um acidente durante o primeiro ano usando o teorema da probabilidade total.
Aplicando a fórmula com os valores dados:
P(A)=P(A\mid C)P\text{(C)}+P(A\mid C^c)P(C^c).
Substituindo números:
P(A)=0,1\cdot 0,2 + 0,05\cdot 0,8.
Fazendo as multiplicações passo a passo:
0,1\cdot 0,2 = 0,02,
0,05\cdot 0,8 = 0,04.
Somando:
P(A)=0,02+0,04=0,06.
Interpretação rápida: há 6\% de chance do novo cliente ter um acidente no primeiro ano.

Passo 4

Agora queremos \;P(C\mid A)\;: a probabilidade de que o cliente seja da categoria 1 dado que teve um acidente. Usamos o Teorema de Bayes:
P(C\mid A)=\frac{P(A\mid C)P\text{(C)}}{P(A)}.
Já temos P(A\mid C)=0,1, P\text{(C)}=0,2 e P(A)=0,06. Substituindo:
P(C\mid A)=\frac{0,1\cdot 0,2}{0,06}=\frac{0,02}{0,06}.
Agora a divisão:
\frac{0,02}{0,06}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Em decimal isso é aproximadamente 0,333\ldots (ou seja, 33{,}3\%). Interpretação: mesmo tendo um acidente, há só cerca de um terço de chance de ele ser da categoria mais propensa — isso porque a categoria 2 é bem mais numerosa ( 80\%).

Passo 5

Resumo conceitual rápido para a prova (cola mental):
  • Use probabilidade total quando quer a chance de algo sem saber a qual subgrupo a pessoa pertence.
  • Use Bayes quando quer a chance de pertencer a um subgrupo dado que ocorreu um evento.
  • Sempre identifique os eventos e calcule passo a passo as multiplicações antes de somar/dividir.
Força aí, você tá indo bem — concentrate nesses dois passos (probabilidade total e Bayes) que cai muito em prova!

Resposta

a) P(A)=0,06\n
b) P(C\mid A)=\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados