1- Uma companhia de seguros acredita que as pessoas podem ser divididas em duas categorias:
- aquelas que estão mais sujeitas a acidentes
- aquelas que não estão mais sujeitas a acidentes
Os dados indicam que uma pessoa da categoria 1 terá um acidente durante o período de um ano com probabilidade 0,1 . A probabilidade para todas as outras pessoas é 0,05 . Suponha que a probabilidade de um novo cliente pertencer a categoria 1 seja 0,2 .
a) Qual a probabilidade de que o novo cliente tenha um acidente durante o primeiro ano?
b) Se um novo cliente tem um acidente durante o primeiro ano, qual é a probabilidade de que ele pertença a categoria 1 ?
a) Qual a probabilidade de que o novo cliente tenha um acidente durante o primeiro ano?
b) Se um novo cliente tem um acidente durante o primeiro ano, qual é a probabilidade de que ele pertença a categoria 1 ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) a probabilidade de que o novo cliente tenha um acidente durante o primeiro ano;
b) dado que o novo cliente teve um acidente no primeiro ano, a probabilidade de que ele pertença à categoria 1.
a) a probabilidade de que o novo cliente tenha um acidente durante o primeiro ano;
b) dado que o novo cliente teve um acidente no primeiro ano, a probabilidade de que ele pertença à categoria 1.
As informações fornecidas no enunciado são:
- A probabilidade de um cliente pertencer à categoria 1 é
. (Vou chamar de o evento “cliente da categoria 1”.) - Há exatamente duas categorias, então a probabilidade de não pertencer à categoria 1 (categoria 2) é
. - A probabilidade de um cliente da categoria 1 ter um acidente no ano é
. (Vou chamar de o evento “ter um acidente no primeiro ano”.) - A probabilidade de um cliente da categoria 2 ter um acidente no ano é
.
Passo 2
Antes de calcular, preciso explicar duas ferramentas que vamos usar — nada de pânico, é tranquilo quando a gente entende o sentido.
-
Definição de probabilidade condicional. Para eventos
e , é a probabilidade de ocorrer sabendo que ocorreu. Por exemplo, é a probabilidade de acidente sabendo que o cliente é da categoria 1. -
Teorema da probabilidade total. Quando um evento
pode acontecer em dois (ou mais) casos mutuamente exclusivos que cobrem todo o espaço — aqui, ser da categoria ou — então
Esse teorema calcula a probabilidade total de
somando as contribuições de cada caso possível.
- Teorema de Bayes (usaremos em seguida). Para inverter uma condicional:
Aqui
é a probabilidade total do passo anterior.
Agora que sabemos o que cada símbolo significa e quais fórmulas usar, vamos calcular.
Passo 3
Calcular a probabilidade de que o novo cliente tenha um acidente durante o primeiro ano usando o teorema da probabilidade total.
Aplicando a fórmula com os valores dados:
Substituindo números:
Fazendo as multiplicações passo a passo:
Somando:
Interpretação rápida: há
de chance do novo cliente ter um acidente no primeiro ano.
Passo 4
Agora queremos
: a probabilidade de que o cliente seja da categoria 1 dado que teve um acidente. Usamos o Teorema de Bayes:
Já temos
,
e
. Substituindo:
Agora a divisão:
Em decimal isso é aproximadamente
(ou seja,
). Interpretação: mesmo tendo um acidente, há só cerca de um terço de chance de ele ser da categoria mais propensa — isso porque a categoria 2 é bem mais numerosa (
).
Passo 5
Resumo conceitual rápido para a prova (cola mental):
- Use probabilidade total quando quer a chance de algo sem saber a qual subgrupo a pessoa pertence.
- Use Bayes quando quer a chance de pertencer a um subgrupo dado que ocorreu um evento.
- Sempre identifique os eventos e calcule passo a passo as multiplicações antes de somar/dividir.
Força aí, você tá indo bem — concentrate nesses dois passos (probabilidade total e Bayes) que cai muito em prova!
Resposta
a)
\n
b)
b)