3- Em um circuito elétrico, 3 componentes são ligados em série e trabalham independentemente um do outro. As probabilidades de falharem o 1^{\circ}, 2^{\circ} e 3^{\circ} componentes valem respectivamente P_{1}=0,15, P_{2}=0,15 e P_{3}=0,10. Qual a probabilidade de que não passe corrente pelo circuito?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual a probabilidade de que não passe corrente pelo circuito?”
Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
\;P_{1}=0{,}15 (probabilidade de falha do 1.º componente)
\;P_{2}=0{,}15 (probabilidade de falha do 2.º componente)
\;P_{3}=0{,}10 (probabilidade de falha do 3.º componente)
Os três componentes estão ligados em série e trabalham independentemente um do outro.

Passo 2

Primeira ideia essencial (sem cálculo ainda): em um circuito em série a corrente passa somente se TODOS os componentes estiverem funcionando. Portanto, “não passar corrente” significa que pelo menos um dos componentes falhou. Vou traduzir isso para eventos.

Passo 3

Defino os eventos:
\;F_{i}= “o i-ésimo componente falha”, para i=1,2,3.
Então queremos a probabilidade de pelo menos uma falha: \displaystyle \mathbb{P}(F_{1}\cup F_{2}\cup F_{3}).

Passo 4

Usarei a técnica do complemento, que é muito prática: a probabilidade de pelo menos uma falha é igual a 1 menos a probabilidade de nenhuma falha. Em símbolos:
\mathbb{P}(F_{1}\cup F_{2}\cup F_{3}) = 1 - \mathbb{P}(\text{nenhuma falha}).
“Não haver nenhuma falha” é o evento em que todos funcionam simultaneamente. Vou chamar esse evento de A=\overline{F_{1}}\cap\overline{F_{2}}\cap\overline{F_{3}}, onde \overline{F_{i}} é “o i-ésimo componente não falha”.

Passo 5

Como o enunciado diz que os componentes trabalham independentemente, posso multiplicar probabilidades de eventos independentes. Em geral, se X e Y são independentes, vale
\mathbb{P}(X\cap Y)=\mathbb{P}(X)\cdot\mathbb{P}(Y).
Aqui, pela independência dos três componentes,
\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(\overline{F_{1}})\cdot\mathbb{P}(\overline{F_{2}})\cdot\mathbb{P}(\overline{F_{3}}).

Passo 6

Calculo as probabilidades de funcionamento de cada componente (complemento da falha):
\mathbb{P}(\overline{F_{1}})=1-P_{1}=1-0{,}15=0{,}85,
\mathbb{P}(\overline{F_{2}})=1-P_{2}=1-0{,}15=0{,}85,
\mathbb{P}(\overline{F_{3}})=1-P_{3}=1-0{,}10=0{,}90.

Passo 7

Multiplico essas probabilidades para obter a probabilidade de nenhum componente falhar:
\mathbb{P}(A)=0{,}85\cdot 0{,}85\cdot 0{,}90.
Faço a conta passo a passo: primeiro 0{,}85\cdot 0{,}85=0{,}7225. Agora multiplico por 0{,}90:
0{,}7225\cdot 0{,}90=0{,}65025.
Portanto \mathbb{P}(\text{nenhuma falha})=0{,}65025.

Passo 8

Agora aplico o complemento para achar a probabilidade de que não passe corrente (pelo menos uma falha):
\mathbb{P}(F_{1}\cup F_{2}\cup F_{3})=1-0{,}65025=0{,}34975.

Passo 9

Interpretação final e arredondamento para uso em prova: a probabilidade é \;0{,}34975, isto é aproximadamente \;34{,}975\%. Em provas costuma-se apresentar com 3 ou 4 casas decimais, por exemplo \;0{,}3498 (34{,}98%).

Resposta

0{,}34975
34{,}975\%

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