9- A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de
, da B é de
e da C é de
. As probabilidades de os indivíduos comprarem um carro da marca
são
e
, dado que sejam de
e C , respectivamente.
Certa loja vendeu um carro da marca
. Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B?
Passo 1
O enunciado pede: “Dada a venda de um carro da marca
numa loja, qual a probabilidade de que o comprador seja da classe
?”
Informações dadas (todas extraídas do enunciado):
As probabilidades condicionais de comprar um carro da marca
dependendo da classe são:
Queremos encontrar
: a probabilidade do comprador ser da classe
, sabendo que o carro vendido é da marca
.
Passo 2
Explicando o que é
: é uma probabilidade condicional que lê "probabilidade de
dado
". Intuitivamente, queremos atualizar nossa crença sobre a classe do comprador depois de sabermos que o carro é da marca
.
A fórmula que usamos para esse tipo de atualização é a regra de Bayes. Vou apresentá-la e explicar cada termo.
Passo 3
Regra de Bayes (forma usada aqui):
O que significa cada símbolo:
-
: probabilidade de ser da classe sabendo que o carro é da marca . -
: probabilidade a priori de um indivíduo ser da classe (antes de sabermos a marca). -
: probabilidade de um indivíduo da classe comprar a marca . -
: probabilidade total de um carro vendido ser da marca (sem condição). Para obter usamos a lei da probabilidade total.
Passo 4
Lei da probabilidade total para
:
Agora substituímos os valores fornecidos:
Passo 5
Calculando cada termo de
com denominador comum para evitar erro:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Somando:
Passo 6
Agora calculamos o numerador da fórmula de Bayes:
Aplicando Bayes:
Passo 7
Simplificando a fração:
Reduzindo por
:
Passo 8
Interpretação curta (meio de amigo): isso significa que, dado que a loja vendeu um carro da marca
, a chance do comprador pertencer à classe
é
, ou cerca de
. Isso acontece porque, embora a classe
seja menos frequente que
na população, os indivíduos de
têm uma probabilidade relativamente alta de preferir a marca
, o que aumenta a contribuição deles entre os compradores de
.