9- A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de 3 / 4, da B é de 1 / 5 e da C é de 1 / 20. As probabilidades de os indivíduos comprarem um carro da marca x são 1 / 10,3 / 5 e 3 / 10, dado que sejam de \mathrm{A}, \mathrm{B} e C , respectivamente.
Certa loja vendeu um carro da marca x. Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B?

Passo 1

O enunciado pede: “Dada a venda de um carro da marca x numa loja, qual a probabilidade de que o comprador seja da classe B?”
Informações dadas (todas extraídas do enunciado):
P(A)=\tfrac{3}{4},\quad P(B)=\tfrac{1}{5},\quad P\text{(C)}=\tfrac{1}{20}.
As probabilidades condicionais de comprar um carro da marca x dependendo da classe são:
P(x\mid A)=\tfrac{1}{10},\quad P(x\mid B)=\tfrac{3}{5},\quad P(x\mid C)=\tfrac{3}{10}.
Queremos encontrar P(B\mid x): a probabilidade do comprador ser da classe B, sabendo que o carro vendido é da marca x.

Passo 2

Explicando o que é P(B\mid x): é uma probabilidade condicional que lê "probabilidade de B dado x". Intuitivamente, queremos atualizar nossa crença sobre a classe do comprador depois de sabermos que o carro é da marca x.
A fórmula que usamos para esse tipo de atualização é a regra de Bayes. Vou apresentá-la e explicar cada termo.

Passo 3

Regra de Bayes (forma usada aqui):
P(B\mid x)=\frac{P(B)\,P(x\mid B)}{P(x)}.
O que significa cada símbolo:
  • P(B\mid x): probabilidade de ser da classe B sabendo que o carro é da marca x.
  • P(B): probabilidade a priori de um indivíduo ser da classe B (antes de sabermos a marca).
  • P(x\mid B): probabilidade de um indivíduo da classe B comprar a marca x.
  • P(x): probabilidade total de um carro vendido ser da marca x (sem condição). Para obter P(x) usamos a lei da probabilidade total.

Passo 4

Lei da probabilidade total para P(x):
P(x)=P(A)\,P(x\mid A)+P(B)\,P(x\mid B)+P\text{(C)}\,P(x\mid C).
Agora substituímos os valores fornecidos:
P(x)=\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{3}{5}+\tfrac{1}{20}\cdot\tfrac{3}{10}.

Passo 5

Calculando cada termo de P(x) com denominador comum para evitar erro:
\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{10}=\tfrac{3}{40},\quad \tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{3}{5}=\tfrac{3}{25},\quad \tfrac{1}{20}\cdot\tfrac{3}{10}=\tfrac{3}{200}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 200:
\tfrac{3}{40}=\tfrac{15}{200},\quad \tfrac{3}{25}=\tfrac{24}{200},\quad \tfrac{3}{200}=\tfrac{3}{200}.
Somando:
P(x)=\tfrac{15}{200}+\tfrac{24}{200}+\tfrac{3}{200}=\tfrac{42}{200}=\tfrac{21}{100}.

Passo 6

Agora calculamos o numerador da fórmula de Bayes:
P(B)\,P(x\mid B)=\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{3}{5}=\tfrac{3}{25}.
Aplicando Bayes:
P(B\mid x)=\frac{\tfrac{3}{25}}{\tfrac{21}{100}}.

Passo 7

Simplificando a fração:
\frac{\tfrac{3}{25}}{\tfrac{21}{100}}=\frac{3}{25}\cdot\frac{100}{21}=\frac{300}{525}=\frac{12}{21}.
Reduzindo por 3:
\frac{12}{21}=\frac{4}{7}.

Passo 8

Interpretação curta (meio de amigo): isso significa que, dado que a loja vendeu um carro da marca x, a chance do comprador pertencer à classe B é \tfrac{4}{7}, ou cerca de 57{,}14\%. Isso acontece porque, embora a classe B seja menos frequente que A na população, os indivíduos de B têm uma probabilidade relativamente alta de preferir a marca x, o que aumenta a contribuição deles entre os compradores de x.

Resposta

\dfrac{4}{7}

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