Considere um meio cuja equação de condução de calor após várias simplificações é:
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r k \frac{\partial T}{\partial r}\right)=\rho C_{p} \frac{\partial T}{\partial t}
Comparando a equação simplificada com a equação geral da condução do calor para a coordenada em questão, responda as perguntas a seguir justificando sua resposta:
a) O meio é parede plana, cilindro ou esfera?
b) A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?
c) A condutividade térmica do material ( k ) é variável ou constante?
d) A transferência de calor é permanente ou transiente?

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA

e) Há geração de calor no meio?
f) A condutividade térmica do meio é constante ou variável?

Passo 1

O enunciado dá a equação de condução de calor
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r\,k\,\frac{\partial T}{\partial r}\Bigr) = \rho C_{p}\,\frac{\partial T}{\partial t}
e pede, comparando com a forma geral \nabla\cdot\bigl(k\nabla T\bigr)=\rho C_{p}\,\partial T/\partial t, para identificarmos:
a) a geometria do meio,
b) a dimensionalidade da transferência,
c) se k é constante ou variável,
d) se o regime é permanente ou transiente,
e) se há geração interna de calor,
f) (de novo) se k é constante ou variável.

Passo 2

O fator 1/r e a derivada somente em r aparecem sempre que trabalhamos em coordenadas cilíndricas com simetria radial pura. Logo, o meio é um cilindro (ou tubo), não uma parede plana nem uma esfera.

Passo 3

Reparamos que a equação depende apenas de r e t, e não de ângulo ou coordenada axial. Isso mostra que a variação espacial ocorre em uma só direção (radial). Portanto, a transferência é unidimensional, na direção r.

Passo 4

No lado esquerdo a condutividade k aparece dentro da derivada \partial/\partial r. Se k fosse constante, poderíamos tirá-la para fora e ficaria \tfrac{k}{r}\,\partial(r\,\partial T/\partial r)/\partial r. Como o enunciado a deixa dentro, está empregando a forma geral \nabla\cdot\bigl(k\nabla T\bigr), o que indica que k varia (com r ou T ou ambos). Isso responde (c).

Passo 5

Do lado direito há um termo \rho C_{p}\,\partial T/\partial t. A presença de \partial T/\partial t\neq0 indica que a temperatura muda no tempo, ou seja, o regime é transiente. Isso responde (d).

Passo 6

Na equação não aparece nenhum termo de geração interna de calor \dot q. Logo, não há geração de calor no meio. Isso responde (e).

Passo 7

Reforçando o que dissemos em (c): como k permanece dentro do operador divergente, a condutividade térmica é variável. Isso responde (f).

Resposta

a) Cilindro.
b) Unidimensional (radial).
c) k variável.
d) Transiente.
e) Sem geração interna de calor.
f) k variável.

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