Seja uma tubulação de comprimento 10 m , raio interno \left(\mathrm{r}_{1}\right) 7 \mathrm{~cm}, raio externo \left(\mathrm{r}_{2}\right) 10 \mathrm{~cm} e condutividade térmica \mathrm{k}=12,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Vapor flui pelo tubo a uma temperatura média de 200^{\circ} \mathrm{C}, e o coeficiente médio de transferência de calor por convecção na superfície interna é \mathrm{h}=70 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a temperatura média na superfície externa da tubulação é de 110^{\circ} \mathrm{C} :
a) expresse a equação diferencial, partindo da equação geral da condução de calor para coordenadas cilíndricas, e as condições de contorno para a condução de calor unidimensional permanente através da tubulação;
b) obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no tubo resolvendo a equação diferencial e encontre a temperatura \mathrm{T}_{1} quando \mathrm{r}=\mathrm{r}_{1}.
c) Determine a taxa de perda de calor do vapor pelo tubo.

Passo 1

O enunciado trata da condução de calor radial unidimensional, permanente, numa parede cilíndrica (tubo) de comprimento L=10\\ \mathrm{m}, raio interno r_{1}=7\\ \mathrm{cm}=0,07\\ \mathrm{m} e raio externo r_{2}=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}. A condutividade térmica é k=12,5\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}. No interior flui vapor a T_{v}=200\\ ^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo h=70\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}. Na superfície externa sabemos que T(r_{2})=110\\ ^\circ\mathrm{C}.
Conteúdo: condução de calor em coordenadas cilíndricas, sem geração de calor, estado estacionário.

Passo 2

A equação geral de condução steady em coordenadas cilíndricas, para simetria azimutal e axial, sem geração, é
\frac{1}{r}\,\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,k\,\frac{dT}{dr}\Bigr)=0.
Como k é constante, simplifica para
\frac{1}{r}\,\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dT}{dr}\Bigr)=0.
As condições de contorno são:
  1. No contorno interno, equilíbrio condução–convecção
-k\,\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}} = h\bigl(T_{v}-T(r_{1})\bigr).
  1. No contorno externo, temperatura conhecida
T(r_{2})=110\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Integramos a equação diferencial duas vezes. Primeiro, d/dr\bigl(r\,dT/dr\bigr)=0 implica
r\,\frac{dT}{dr}=C_{1},
ou seja
\frac{dT}{dr}=\frac{C_{1}}{r}.
Integrando de novo, obtemos
T(r)=C_{1}\ln(r)+C_{2}.

Passo 4

Usamos as condições de contorno para achar C_{1} e C_{2}.
a) Da condição externa:
T(r_{2})=C_{1}\ln(r_{2})+C_{2}=110.
b) Da condição interna:
-k\,\frac{C_{1}}{r_{1}} = h\bigl(T_{v}-T(r_{1})\bigr) = h\bigl(T_{v}-[C_{1}\ln(r_{1})+C_{2}]\bigr).
É mais direto usar a diferença T(r_{2})-T(r_{1}). Note que
T(r_{2})-T(r_{1}) = C_{1}\ln\!\Bigl(\frac{r_{2}}{r_{1}}\Bigr).
Por outro lado,
-k\,\frac{C_{1}}{r_{1}} = h\bigl(T_{v}-T(r_{1})\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{C_{1}}{r_{1}} = -\frac{h}{k}\,\bigl(T_{v}-T(r_{1})\bigr).
Logo
T(r_{2})-T(r_{1}) = C_{1}\ln\!\Bigl(\frac{r_{2}}{r_{1}}\Bigr) = -r_{1}\,\frac{h}{k}\,\bigl(T_{v}-T(r_{1})\bigr)\, \ln\!\Bigl(\frac{r_{2}}{r_{1}}\Bigr).
Definindo
m = \frac{r_{1}\,h}{k}\;\ln\!\Bigl(\frac{r_{2}}{r_{1}}\Bigr),
temos
T(r_{2})-T(r_{1}) = -\,m\bigl(T_{v}-T(r_{1})\bigr).
Substituindo T(r_{2})=110 e T_{v}=200, obtém-se
110 - T(r_{1}) = -m\bigl(200 - T(r_{1})\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 110 + m\,200 = T(r_{1})\,(1+m).
Logo
T(r_{1}) = \frac{110 + 200\,m}{1+m}.
Calculamos m:
m = \frac{0,07\cdot 70}{12,5}\,\ln\!\Bigl(\frac{0,10}{0,07}\Bigr) \approx 0,1399.
Assim
T(r_{1}) = \frac{110 + 200\times0,1399}{1+0,1399} \approx 121,1\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

A taxa de calor perdida pelo vapor (por unidade de comprimento L) é
\dot q = 2\pi\,r_{1}\,L\,h\bigl(T_{v}-T(r_{1})\bigr).
Substituindo r_{1}=0,07\\ \mathrm{m}, L=10\\ \mathrm{m}, h=70\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}, T_{v}=200 e T(r_{1})\approx121,1:
\dot q = 2\pi\times0,07\times10\times70\times(200-121,1) \approx 2,43\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Resposta

a) Equação diferencial
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,k\,\frac{dT}{dr}\Bigr)=0,
com
-k\,\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}} = h\bigl(T_{v}-T(r_{1})\bigr), \quad T(r_{2})=110\\ ^\circ\mathrm{C}.
b)
T(r)=C_{1}\ln(r)+C_{2},
T(r_{1})\approx 121,1\\ ^\circ\mathrm{C}.
c)
\dot q\approx 2,43\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Exercícios relacionados