Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
A transferência de calor é permanente ou transiente?
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pergunta se a transferência de calor é permanente ou transiente.
Informações explícitas:
- A incógnita é
, a temperatura que pode depender de (raio) e de (tempo). -
é a difusividade térmica (uma constante positiva). - A equação relaciona derivadas espaciais (em
) com a derivada temporal .
O que se pede:
- Determinar se a transferência de calor descrita por essa equação é permanente (estado estacionário) ou transiente (dependente do tempo).
Passo 2
Definições e ideia-chave para reconhecer os tipos:
- Permanente (estado estacionário): a temperatura não muda no tempo. Isso significa matematicamente que
- Transiente (dependente do tempo): a temperatura varia com o tempo, ou seja
Portanto, para saber se o problema é transiente ou permanente basta olhar se a equação contém ou exige
.
Passo 3
Observação direta da equação: o membro direito é
. A presença explícita de
indica que, em geral, a temperatura pode variar no tempo. Logo, a equação dada descreve evolução temporal da temperatura — isto é, comportamento transiente em geral.
Passo 4
Explicação adicional didática (como distinguir rigorosamente os casos e como obter o caso permanente como especial):
- Se quisermos o caso permanente impomos
. Substituindo na equação obtemos a equação ordinária em :
- Multiplicando por
:
- Integrando em relação a
:
onde
é constante de integração.
- Isolando a derivada:
- Integrando novamente:
onde
é outra constante de integração.
Interpretação física e observações práticas:
- A forma geral no estado permanente é
. As constantes são determinadas pelas condições de contorno (por exemplo temperatura prescrita em uma superfície esférica e condição no infinito). - Se o domínio inclui o centro
, a solução regular em exige , então é constante no estado permanente. - Portanto: a equação original é a equação transiente (tem derivada temporal); o estado permanente aparece como um caso particular obtido impondo
e aplicando as condições de contorno.
Passo 5
Conclusão prática e motivadora: a equação dada descreve, em geral, condução de calor transiente (dependente do tempo). Se na prova pedirem “permanente?”, explique que só se tiver
(ou condições que forcem isso) e então use o procedimento acima para obter a solução espacial
. Vai dar tudo certo — respira e foco nas condições de contorno!
Resposta
Transiente.