Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}\right)=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
A transferência de calor é permanente ou transiente?

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}\right)=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
e pergunta se a transferência de calor é permanente ou transiente.
Informações explícitas:
  • A incógnita é T=T(r,t), a temperatura que pode depender de r (raio) e de t (tempo).
  • \alpha é a difusividade térmica (uma constante positiva).
  • A equação relaciona derivadas espaciais (em r) com a derivada temporal \dfrac{\partial T}{\partial t}.
O que se pede:
  • Determinar se a transferência de calor descrita por essa equação é permanente (estado estacionário) ou transiente (dependente do tempo).

Passo 2

Definições e ideia-chave para reconhecer os tipos:
  • Permanente (estado estacionário): a temperatura não muda no tempo. Isso significa matematicamente que
\frac{\partial T}{\partial t}=0.
  • Transiente (dependente do tempo): a temperatura varia com o tempo, ou seja
\frac{\partial T}{\partial t}\neq 0.
Portanto, para saber se o problema é transiente ou permanente basta olhar se a equação contém ou exige \dfrac{\partial T}{\partial t}.

Passo 3

Observação direta da equação: o membro direito é \dfrac{1}{\alpha}\dfrac{\partial T}{\partial t}. A presença explícita de \dfrac{\partial T}{\partial t} indica que, em geral, a temperatura pode variar no tempo. Logo, a equação dada descreve evolução temporal da temperatura — isto é, comportamento transiente em geral.

Passo 4

Explicação adicional didática (como distinguir rigorosamente os casos e como obter o caso permanente como especial):
  • Se quisermos o caso permanente impomos \dfrac{\partial T}{\partial t}=0. Substituindo na equação obtemos a equação ordinária em r:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right)=0.
  • Multiplicando por r^{2}:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right)=0.
  • Integrando em relação a r:
r^{2}\frac{dT}{dr}=C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
  • Isolando a derivada:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_{1}}{r^{2}}.
  • Integrando novamente:
T(r)=-\frac{C_{1}}{r}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.
Interpretação física e observações práticas:
  • A forma geral no estado permanente é T(r)=C_{2}-C_{1}/r. As constantes C_{1},C_{2} são determinadas pelas condições de contorno (por exemplo temperatura prescrita em uma superfície esférica e condição no infinito).
  • Se o domínio inclui o centro r=0, a solução regular em r=0 exige C_{1}=0, então T é constante no estado permanente.
  • Portanto: a equação original é a equação transiente (tem derivada temporal); o estado permanente aparece como um caso particular obtido impondo \partial T/\partial t=0 e aplicando as condições de contorno.

Passo 5

Conclusão prática e motivadora: a equação dada descreve, em geral, condução de calor transiente (dependente do tempo). Se na prova pedirem “permanente?”, explique que só se tiver \partial T/\partial t=0 (ou condições que forcem isso) e então use o procedimento acima para obter a solução espacial T(r)=C_{2}-C_{1}/r. Vai dar tudo certo — respira e foco nas condições de contorno!

Resposta

Transiente.

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