Considere um mercado de carros usados, em que os consumidores estejam dispostos a pagar o valor de R$800 por um carro de alta qualidade, e o valor de R$ 200 por um carro de baixa qualidade. A oferta de carros de alta qualidade é Y_{A}=2 p_{A}-200, e a oferta de carros de baixa qualidade é Y_{B}=4 p_{B}-800. Os compradores de carros não conseguem distinguir o tipo de carro que está sendo oferecido. Suponha que os compradores acreditam que haja 50 \% de chance do carro oferecido ser de alta qualidade. Nestas condições, qual percentual de carros de alta qualidade será efetivamente oferecido no mercado?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Utilidade (disposição a pagar) dos compradores:
    • alto qualidade: 800 reais por carro.
    • baixa qualidade: 200 reais por carro.
  • Funções oferta (quantidade oferecida em função do preço recebido):
    • oferta de carros de alta qualidade: Y_{A}=2 p_{A}-200.
    • oferta de carros de baixa qualidade: Y_{B}=4 p_{B}-800.
  • Os compradores não conseguem distinguir o tipo do carro oferecido e acreditam que a probabilidade do carro ser de alta qualidade é 50\% (ou seja, 0,5).
  • Como consequência, compradores pagam um mesmo preço por qualquer carro oferecido (não há preço diferente por tipo). O enunciado pede: qual percentual dos carros oferecidos no mercado será de alta qualidade?

Passo 2

Explicação do raciocínio que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Quando compradores não distinguem tipos e formam uma crença sobre a probabilidade de cada tipo, a disposição a pagar esperada (o preço máximo que, em média, estão dispostos a pagar) é a esperança da avaliação dos dois tipos, ponderada pelas probabilidades. Isso porque, ao não saber o tipo, o comprador aceita pagar o valor médio esperado.
  • Fórmula da esperança (valor esperado) neste caso:
    • Se a probabilidade de alta qualidade é 0,5, então a disposição a pagar esperada é
      \;E[V]=0,5\cdot 800 + 0,5\cdot 200.
  • Vamos calcular essa expectativa explicitamente.

Passo 3

Calcular a disposição a pagar esperada:
\;E[V]=0,5\cdot 800 + 0,5\cdot 200.
Primeiro produto: 0,5\cdot 800 = 400.
Segundo produto: 0,5\cdot 200 = 100.
Somando: E[V]=400+100=500.
Portanto, os compradores, com essa crença, pagam no máximo 500 reais por carro. Em equilíbrio de preço (dado que compradores pagam esse preço e vendedores oferecem ao preço de mercado), temos p_{A}=p_{B}=p=500.

Passo 4

Interpretar as funções de oferta: Y_{A} é a quantidade de carros de alta qualidade que os donos estão dispostos a oferecer ao preço p_{A}; Y_{B} é a quantidade de carros de baixa qualidade oferecida ao preço p_{B}. Como o preço recebido pelos vendedores é o mesmo para ambos (compradores não distinguem), substituímos p_{A}=p_{B}=500.
Calcular Y_{A}:
\;Y_{A}=2p-200=2\cdot 500 - 200.
2\cdot 500 = 1000.
1000 - 200 = 800.
Logo \;Y_{A}=800 (unidades de carros).

Passo 5

Calcular Y_{B}:
\;Y_{B}=4p-800=4\cdot 500 - 800.
4\cdot 500 = 2000.
2000 - 800 = 1200.
Logo \;Y_{B}=1200.

Passo 6

Calcular o percentual de carros de alta qualidade no mercado:
  • Quantidade total ofertada: Y_{A}+Y_{B}=800+1200=2000.
  • Fração de alta qualidade: \dfrac{Y_{A}}{Y_{A}+Y_{B}}=\dfrac{800}{2000}.
    Fazendo a divisão: \dfrac{800}{2000}=0,4.
    Convertendo para porcentagem: 0,4 = 40\%.
Breve comentário final e incentivo: portanto, embora os compradores acreditem que metade dos carros seja de alta qualidade, a oferta resultante faz com que apenas 40\% dos carros no mercado sejam de alta qualidade. Está indo bem — esses passos são exatamente os que valem na prova: calcular o preço esperado dos compradores e substituir nas curvas de oferta para obter quantidades e frações.

Resposta

40\%

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