Considere um mercado de carros usados, em que os consumidores estejam dispostos a pagar o valor de R$800 por um carro de alta qualidade, e o valor de R$ 200 por um carro de baixa qualidade. A oferta de carros de alta qualidade é
, e a oferta de carros de baixa qualidade é
. Os compradores de carros não conseguem distinguir o tipo de carro que está sendo oferecido. Suponha que os compradores acreditam que haja
de chance do carro oferecido ser de alta qualidade. Nestas condições, qual percentual de carros de alta qualidade será efetivamente oferecido no mercado?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
- Utilidade (disposição a pagar) dos compradores:
- alto qualidade:
reais por carro. - baixa qualidade:
reais por carro.
- alto qualidade:
- Funções oferta (quantidade oferecida em função do preço recebido):
- oferta de carros de alta qualidade:
. - oferta de carros de baixa qualidade:
.
- oferta de carros de alta qualidade:
- Os compradores não conseguem distinguir o tipo do carro oferecido e acreditam que a probabilidade do carro ser de alta qualidade é
(ou seja, ). - Como consequência, compradores pagam um mesmo preço por qualquer carro oferecido (não há preço diferente por tipo). O enunciado pede: qual percentual dos carros oferecidos no mercado será de alta qualidade?
Passo 2
Explicação do raciocínio que vamos usar (passo-a-passo didático):
- Quando compradores não distinguem tipos e formam uma crença sobre a probabilidade de cada tipo, a disposição a pagar esperada (o preço máximo que, em média, estão dispostos a pagar) é a esperança da avaliação dos dois tipos, ponderada pelas probabilidades. Isso porque, ao não saber o tipo, o comprador aceita pagar o valor médio esperado.
- Fórmula da esperança (valor esperado) neste caso:
- Se a probabilidade de alta qualidade é
, então a disposição a pagar esperada é
.
- Se a probabilidade de alta qualidade é
- Vamos calcular essa expectativa explicitamente.
Passo 3
Calcular a disposição a pagar esperada:
.
Primeiro produto: .
Segundo produto: .
Somando: .
Portanto, os compradores, com essa crença, pagam no máximo reais por carro. Em equilíbrio de preço (dado que compradores pagam esse preço e vendedores oferecem ao preço de mercado), temos
.
Primeiro produto:
Segundo produto:
Somando:
Portanto, os compradores, com essa crença, pagam no máximo
Passo 4
Interpretar as funções de oferta:
é a quantidade de carros de alta qualidade que os donos estão dispostos a oferecer ao preço
;
é a quantidade de carros de baixa qualidade oferecida ao preço
. Como o preço recebido pelos vendedores é o mesmo para ambos (compradores não distinguem), substituímos
.
Calcular
:
.
.
.
Logo (unidades de carros).
Logo
Passo 5
Calcular
:
.
.
.
Logo .
Logo
Passo 6
Calcular o percentual de carros de alta qualidade no mercado:
- Quantidade total ofertada:
. - Fração de alta qualidade:
.
Fazendo a divisão:.
Convertendo para porcentagem:.
Breve comentário final e incentivo: portanto, embora os compradores acreditem que metade dos carros seja de alta qualidade, a oferta resultante faz com que apenas
dos carros no mercado sejam de alta qualidade. Está indo bem — esses passos são exatamente os que valem na prova: calcular o preço esperado dos compradores e substituir nas curvas de oferta para obter quantidades e frações.