Considere os seguintes conjuntos:
\begin{aligned} & \mathcal{A}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-1)^{2}=4\right\} \\\ & \mathcal{B}=\left\{(x, y) \mid(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=1\right\} \end{aligned}
\mathcal{C}=\{(x, y) \mid x+y=1\} .

Passo 1

O enunciado dá três conjuntos no plano cartesiano:
\mathcal{A}=\{(x,y)\mid x^{2}+(y-1)^{2}=4\}, \qquad \mathcal{B}=\{(x,y)\mid (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=1\}, \qquad \mathcal{C}=\{(x,y)\mid x+y=1\}.
Para organizar (já que o enunciado não diz explicitamente o que pedir), vou determinar os pontos de interseção entre esses conjuntos, ou seja:
  • Encontrar \mathcal{A}\cap\mathcal{C}.
  • Encontrar \mathcal{B}\cap\mathcal{C}.
  • Encontrar \mathcal{A}\cap\mathcal{B}.
  • Verificar \mathcal{A}\cap\mathcal{B}\cap\mathcal{C}.
Vou listar também as informações relevantes dadas:
  • \mathcal{A} é a circunferência centrada em (0,1) com raio 2 (peguei isso da equação de \mathcal{A}).
  • \mathcal{B} é a circunferência centrada em (-1,2) com raio 1 (peguei isso da equação de \mathcal{B}).
  • \mathcal{C} é a reta de equação x+y=1 (peguei isso da equação de \mathcal{C}).

Passo 2

Lembrete rápido (ferramentas que vou usar) — explicando de forma simples:
  • Para intersectar uma circunferência com uma reta, substitui-se a expressão da reta na equação da circunferência e resolve-se a equação resultante (geralmente uma quadrática em x ou y).
  • Para intersectar duas circunferências, uma técnica prática é subtrair as duas equações para eliminar os termos x^{2}+y^{2}; isso dá uma equação linear (a chamada eixo radical) que relaciona x e y; depois substitui-se essa relação numa das equações para obter uma quadrática.
  • Quando surge uma quadrática ax^{2}+bx+c=0, as soluções são \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. O discriminante \Delta=b^{2}-4ac indica quantas soluções reais teremos: \Delta>0 duas; \Delta=0 uma (tangência); \Delta<0 nenhuma real.
    Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Interseção \mathcal{A}\cap\mathcal{C}.
A reta \mathcal{C} \;y=1-x\; (isolar y é a forma mais prática). Substituo em \mathcal{A}:
x^{2}+\bigl((1-x)-1\bigr)^{2}=4.
Dentro do parêntese fica (1-x)-1=-x, então
x^{2}+(-x)^{2}=4.
Isso é
x^{2}+x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=4.
Logo
x^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Agora recupero y usando y=1-x:
  • Se x=\sqrt{2}, então y=1-\sqrt{2}.
  • Se x=-\sqrt{2}, então y=1-(-\sqrt{2})=1+\sqrt{2}.
Portanto
\mathcal{A}\cap\mathcal{C}=\Bigl\{\bigl(\sqrt{2},\,1-\sqrt{2}\bigr),\\ \bigl(-\sqrt{2},\,1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr\}.

Passo 4

Interseção \mathcal{B}\cap\mathcal{C}.
De novo uso y=1-x e substituo em \mathcal{B}:
(x+1)^{2}+\bigl((1-x)-2\bigr)^{2}=1.
Calculo (1-x)-2=-x-1, logo
(x+1)^{2}+(-x-1)^{2}=1.
Mas (-x-1)^{2}=(x+1)^{2}, então
2(x+1)^{2}=1.
Assim
(x+1)^{2}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x+1=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto
x=-1\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
E y=1-x
y=1- \left(-1\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=2\mp\frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo os pontos são
\left(-1+\frac{1}{\sqrt{2}},\,2-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \quad\text{e}\quad \left(-1-\frac{1}{\sqrt{2}},\,2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Portanto
\mathcal{B}\cap\mathcal{C}=\Bigl\{\bigl(-1+\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,2-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr),\\ \bigl(-1-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,2+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)\Bigr\}.

Passo 5

Antes de resolver \mathcal{A}\cap\mathcal{B}, faço uma verificação geométrica rápida (isso ajuda a prever o número de interseções):
  • Centro de \mathcal{A} é O_{A}=(0,1) com raio r_{A}=2.
  • Centro de \mathcal{B} é O_{B}=(-1,2) com raio r_{B}=1.
    Distância entre centros:
d=\sqrt{(0-(-1))^{2}+(1-2)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}.
Comparando com os raios:
|r_{A}-r_{B}|=|2-1|=1 < d=\sqrt{2} < r_{A}+r_{B}=3.
Como 1<\sqrt{2}<3, as circunferências se intersectam em dois pontos distintos. Então espero duas soluções reais para \mathcal{A}\cap\mathcal{B}.

Passo 6

Agora resolvo \mathcal{A}\cap\mathcal{B} algébrica e sistematicamente. As equações são
x^{2}+(y-1)^{2}=4 \quad\text{(I)}
(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=1 \quad\text{(II)}.
Expando cada uma para facilitar a subtração.
Expandindo (I):
x^{2}+y^{2}-2y+1=4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}-2y-3=0. \tag{I'}
Expandindo (II):
x^{2}+2x+1+y^{2}-4y+4=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}+2x-4y+4=0. \tag{II'}
Subtraio (I’) de (II’) para eliminar x^{2}+y^{2}:
\bigl(x^{2}+y^{2}+2x-4y+4\bigr)-\bigl(x^{2}+y^{2}-2y-3\bigr)=0.
Isso simplifica para
2x-4y+4 -(-2y-3)=2x-4y+4+2y+3=2x-2y+7=0.
Logo
2x-2y+7=0 \quad\Rightarrow\quad x-y+\tfrac{7}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad y=x+\tfrac{7}{2}.

Passo 7

Substituo y=x+\tfrac{7}{2} em (I’) (poderia usar (II’), ambas servem). Em (I’):
x^{2}+\bigl(x+\tfrac{7}{2}\bigr)^{2}-2\bigl(x+\tfrac{7}{2}\bigr)-3=0.
Desenvolvendo term a term:
x^{2} + \bigl(x^{2}+7x+\tfrac{49}{4}\bigr) -2x -7 -3 = 0.
Somando:
2x^{2} +5x +\bigl(\tfrac{49}{4}-10\bigr)=0.
E \tfrac{49}{4}-10=\tfrac{49-40}{4}=\tfrac{9}{4}. Então
2x^{2}+5x+\tfrac{9}{4}=0.
Multiplico por 4 para evitar frações:
8x^{2}+20x+9=0.

Passo 8

Resolvo a quadrática 8x^{2}+20x+9=0. O discriminante é
\Delta=20^{2}-4\cdot 8\cdot 9=400-288=112.
Escrevo \Delta=112=16\cdot 7, então \sqrt{\Delta}=4\sqrt{7}. Assim
x=\frac{-20\pm 4\sqrt{7}}{16}=\frac{-5\pm\sqrt{7}}{4}.
Agora obtemos y usando y=x+\tfrac{7}{2}:
y=\frac{-5\pm\sqrt{7}}{4}+\frac{14}{4}=\frac{-5\pm\sqrt{7}+14}{4}=\frac{9\pm\sqrt{7}}{4}.
Portanto os dois pontos de interseção são
\left(\frac{-5+\sqrt{7}}{4},\,\frac{9+\sqrt{7}}{4}\right) \quad\text{e}\quad \left(\frac{-5-\sqrt{7}}{4},\,\frac{9-\sqrt{7}}{4}\right).

Passo 9

Verificação final da interseção tripla \mathcal{A}\cap\mathcal{B}\cap\mathcal{C}.
Para que haja ponto comum aos três conjuntos, algum dos pontos de \mathcal{A}\cap\mathcal{B} precisaria satisfazer x+y=1. Calculo x+y para os pontos encontrados:
x+y=\frac{-5\pm\sqrt{7}}{4}+\frac{9\pm\sqrt{7}}{4}=\frac{4\pm 2\sqrt{7}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{7}}{2}.
Esses valores são 1\pm\frac{\sqrt{7}}{2}, que não são iguais a 1 (pois \frac{\sqrt{7}}{2}\neq 0). Logo nenhum desses pontos satisfaz x+y=1. Portanto
\mathcal{A}\cap\mathcal{B}\cap\mathcal{C}=\varnothing.

Resposta

\mathcal{A}\cap\mathcal{C}=\Bigl\{\bigl(\sqrt{2},\,1-\sqrt{2}\bigr),\\ \bigl(-\sqrt{2},\,1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr\}
\mathcal{B}\cap\mathcal{C}=\Bigl\{\bigl(-1+\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,2-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr),\\ \bigl(-1-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,2+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)\Bigr\}
\mathcal{A}\cap\mathcal{B}=\Bigl\{\bigl(\tfrac{-5+\sqrt{7}}{4},\,\tfrac{9+\sqrt{7}}{4}\bigr),\\ \bigl(\tfrac{-5-\sqrt{7}}{4},\,\tfrac{9-\sqrt{7}}{4}\bigr)\Bigr\}
\mathcal{A}\cap\mathcal{B}\cap\mathcal{C}=\varnothing

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