Vou listar também as informações relevantes dadas:
\mathcal{A} é a circunferência centrada em (0,1) com raio 2 (peguei isso da equação de \mathcal{A}).
\mathcal{B} é a circunferência centrada em (-1,2) com raio 1 (peguei isso da equação de \mathcal{B}).
\mathcal{C} é a reta de equação x+y=1 (peguei isso da equação de \mathcal{C}).
Passo 2
Lembrete rápido (ferramentas que vou usar) — explicando de forma simples:
Para intersectar uma circunferência com uma reta, substitui-se a expressão da reta na equação da circunferência e resolve-se a equação resultante (geralmente uma quadrática em x ou y).
Para intersectar duas circunferências, uma técnica prática é subtrair as duas equações para eliminar os termos x^{2}+y^{2}; isso dá uma equação linear (a chamada eixo radical) que relaciona x e y; depois substitui-se essa relação numa das equações para obter uma quadrática.
Quando surge uma quadrática ax^{2}+bx+c=0, as soluções são \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. O discriminante \Delta=b^{2}-4ac indica quantas soluções reais teremos: \Delta>0 duas; \Delta=0 uma (tangência); \Delta<0 nenhuma real.
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Interseção \mathcal{A}\cap\mathcal{C}.
A reta \mathcal{C} dá \;y=1-x\; (isolar y é a forma mais prática). Substituo em \mathcal{A}:
Verificação final da interseção tripla \mathcal{A}\cap\mathcal{B}\cap\mathcal{C}.
Para que haja ponto comum aos três conjuntos, algum dos pontos de \mathcal{A}\cap\mathcal{B} precisaria satisfazer x+y=1. Calculo x+y para os pontos encontrados: