Esboce os seguintes subconjuntos do plano:
(a) \mathcal{A}=\left\{(x, y) \mid(x-2)^{2}+(y-3)^{2}>1\right\}.
(b) \mathcal{B}=\left\{(x, y) \mid(x-4)^{2}+(y-3)^{2}<2\right\}.
(c) \mathcal{C}=\left\{(x, y) \mid(x-2)^{2}+(y-3)^{2} \leq 4\right\}.
(d) \mathcal{D}=\mathcal{A} \cap \mathcal{B}.
(e) \mathcal{E}=\mathcal{A} \cap \mathcal{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dados cinco subconjuntos do plano, definidos por desigualdades do tipo (x-a)^{2}+(y-b)^{2} comparado a um número.
  • O enunciado pede que esbocemos (ou seja, que descrevamos geometricamente e como desenhar) os conjuntos:
    (a) \mathcal{A}=\{(x,y)\mid (x-2)^{2}+(y-3)^{2}>1\}.
    (b) \mathcal{B}=\{(x,y)\mid (x-4)^{2}+(y-3)^{2}<2\}.
    (c) \mathcal{C}=\{(x,y)\mid (x-2)^{2}+(y-3)^{2}\le 4\}.
    (d) \mathcal{D}=\mathcal{A}\cap\mathcal{B}.
    (e) \mathcal{E}=\mathcal{A}\cap\mathcal{C}.
Informações relevantes extraídas do enunciado (cada número/variável abaixo está em notação matemática):
  • Em (a) e (c) aparece o mesmo centro (2,3).
  • Em (b) o centro é (4,3).
  • As quantidades à direita das igualdades indicam r^{2} dos círculos: em (a) r^{2}=1 então r=1; em (b) r^{2}=2 então r=\sqrt{2}; em (c) r^{2}=4 então r=2.
  • Distância entre os centros (2,3) e (4,3) é
\text{dist}=\sqrt{(4-2)^{2}+(3-3)^{2}}=2.

Passo 2

Aulas rápidas de geometria do plano (fórmulas e interpretação das desigualdades) — isto é importante para saber o que desenhar.
  • Uma equação de círculo centrado em (a,b) e de raio r é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.
Aqui (x,y) é um ponto genérico do plano, a e b coordenadas do centro, e r o raio.
  • As desigualdades interpretam regiões relativas ao círculo:
    • Se (x-a)^{2}+(y-b)^{2}<r^{2} então o ponto está no interior do círculo (disco aberto).
    • Se (x-a)^{2}+(y-b)^{2}\le r^{2} então o ponto está no interior ou na fronteira (disco fechado).
    • Se (x-a)^{2}+(y-b)^{2}>r^{2} então o ponto está no exterior do círculo (fora do disco), a fronteira também está excluída.
    • Se for = então o ponto está exatamente na circunferência.
  • Como desenhar: marcar o centro, traçar uma circunferência com o raio indicado; usar traço contínuo quando a fronteira está incluída ( \le ou \ge), e traço pontilhado/círculo aberto quando a fronteira está excluída ( < ou >). Depois sombrear a região interior ou exterior conforme a desigualdade.

Passo 3

Descrever e explicar como esboçar \mathcal{A}.
  • Identificar centro e raio: da forma (x-2)^{2}+(y-3)^{2}>1 obtemos centro (2,3) e r^{2}=1, então r=1.
  • Interpretação: trata-se do conjunto de pontos cuja distância ao ponto (2,3) é maior que 1. Em palavras: é o exterior do disco de raio 1 centrado em (2,3); a circunferência de raio 1 está excluída (porque > não permite igualdade).
  • Como desenhar passo a passo:
    1. Desenhar o plano cartesiano.
    2. Marcar o ponto (2,3).
    3. Desenhar uma circunferência de raio 1 centrada em (2,3), com traço pontilhado (ou desenhar-a contínua e indicar com um círculo o ponto que representa que a fronteira não pertence).
    4. Sombrear todo o resto do plano fora dessa circunferência (ou deixar sem sombreado dentro e marcar claramente que a região externa é o conjunto).
  • Observação topológica rápida: \mathcal{A} é um conjunto aberto (complemento do disco fechado de raio 1).

Passo 4

Descrever e explicar como esboçar \mathcal{B}.
  • Identificar centro e raio: de (x-4)^{2}+(y-3)^{2}<2 obtemos centro (4,3) e r^{2}=2, então r=\sqrt{2} (aprox. 1{,}414).
  • Interpretação: é o disco aberto centrado em (4,3) com raio \sqrt{2}; a fronteira (circunferência) está excluída porque a desigualdade é estrita <.
  • Como desenhar passo a passo:
    1. Marcar o ponto (4,3).
    2. Traçar a circunferência de raio \sqrt{2} em traço pontilhado (ou indicar a fronteira como não pertencente).
    3. Sombrear a região interna a essa circunferência (mas sem incluir a circunferência).
  • Relação com o centro (2,3): a distância entre os centros é 2, que é maior que r de \mathcal{B} ( \sqrt{2}) e maior que r de \mathcal{A} ( 1), logo as duas circunferências podem intersectar; vamos estudar isso ao tratar da interseção.

Passo 5

Descrever e explicar como esboçar \mathcal{C}.
  • Identificar centro e raio: de (x-2)^{2}+(y-3)^{2}\le 4 obtemos centro (2,3) e r^{2}=4, então r=2.
  • Interpretação: é o disco fechado centrado em (2,3) com raio 2; a fronteira está incluída (porque \le).
  • Como desenhar:
    1. Marcar o ponto (2,3) (mesmo centro de \mathcal{A}).
    2. Traçar a circunferência de raio 2 com traço contínuo (fronteira incluída).
    3. Sombrear o interior e a fronteira (disco fechado).
  • Observação: o ponto (4,3) tem distância 2 a (2,3), portanto (4,3) está sobre a fronteira de \mathcal{C} e, como \mathcal{C} usa \le, o ponto (4,3) pertence a \mathcal{C}.

Passo 6

Estudar e esboçar [\mathcal{D}=\mathcal{A}\cap\mathcal{B}).
  • Em palavras: \mathcal{D} são os pontos que simultaneamente estão fora do disco de raio 1 centrado em (2,3) (fronteira excluída) e dentro do disco de raio \sqrt{2} centrado em (4,3) (fronteira excluída). Ou seja,
\mathcal{D}=\{(x,y)\mid (x-2)^{2}+(y-3)^{2}>1 \\ \text{ e }\\ (x-4)^{2}+(y-3)^{2}<2\}.
  • Primeiro verificar se há interseção não vazia: como a soma dos raios 1+\sqrt{2}\approx 2{,}414 é maior que a distância entre centros 2, as duas circunferências se intersectam em dois pontos; portanto existe região comum.
  • Podemos calcular os pontos de interseção das duas circunferências (úteis para esboçar): resolver o sistema
\begin{cases} (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1,\\[4pt] (x-4)^{2}+(y-3)^{2}=2. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x-4)^{2}-(x-2)^{2}=1.
Desenvolvendo e simplificando obtemos
-4x+12=1\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{11}{4}=2{,}75.
Substituindo em uma das equações:
(2{,}75-2)^{2}+(y-3)^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad (y-3)^{2}=1-(0{,}75)^{2}=1-0{,}5625=0{,}4375=\tfrac{7}{16}.
Logo
y=3\pm \frac{\sqrt{7}}{4}.
Esses são os dois pontos de interseção (estes pontos pertencem às fronteiras de ambos os círculos; como ambos \mathcal{A}\] e \(\mathcal{B} têm desigualdades estritas na fronteira, esses pontos não pertencem a \mathcal{D}, mas servem para traçar exatamente onde as circunferências se cruzam).
  • Descrição final da região: \mathcal{D} é a parte do disco aberto centrado em (4,3) de raio \sqrt{2} que fica externamente ao disco fechado de raio 1 centrado em (2,3); geometricamente é um “bocado” (porção) do disco de \mathcal{B} que fica fora do pequeno disco centrado em (2,3). Ambos os limites (as duas circunferências) são excluídos.
  • Como esboçar \mathcal{D}:
    1. Desenhar ambas as circunferências; marque as interseções nos pontos calculados x=\tfrac{11}{4}, y=3\pm\tfrac{\sqrt{7}}{4}.
    2. Trace as fronteiras pontilhadas (já que \mathcal{A} e \mathcal{B} têm fronteiras excluídas).
    3. Sombrar apenas a região dentro da circunferência de \mathcal{B} e fora da circunferência de raio 1; não sombrear os contornos.]

Passo 7

Estudar e esboçar \mathcal{E}=\mathcal{A}\cap\mathcal{C}.
  • Em palavras: \mathcal{E} são os pontos que estão fora do disco de raio 1 centrado em (2,3) (com fronteira excluída) e ao mesmo tempo dentro ou sobre o disco de raio 2 centrado em (2,3) (fronteira incluída). Ou seja,
\mathcal{E}=\{(x,y)\mid 1<(x-2)^{2}+(y-3)^{2}\le 4\}.
  • Interpretação simples: é um anel (anel circular) centrado em (2,3), com raio interno 1 (não incluído) e raio externo 2 (incluído). Em termos de distância ao centro (2,3),
\mathcal{E}=\{(x,y)\mid 1<\text{dist}((x,y),(2,3))^{2}\le 4\}
ou equivalentemente 1<\text{dist}((x,y),(2,3))\le 2.
  • Como esboçar:
    1. Desenhar duas circunferências concêntricas centradas em (2,3): uma de raio 1 (pontilhada, porque está excluída) e outra de raio 2 (traço contínuo, porque está incluída).
    2. Sombrar a região entre elas, incluindo a fronteira externa e excluindo a interna.
  • Observação: o ponto (4,3) (centro de \mathcal{B}) tem distância 2 de (2,3) e portanto pertence a \mathcal{E} (pois a fronteira externa é incluída).

Passo 8

Resumo prático de como desenhar todos juntos (se quiser colocar tudo no mesmo esboço).
  • Desenhar o plano e marcar os dois centros (2,3) e (4,3).
  • Em (2,3) desenhar duas circunferências concêntricas: raio 1 (pontilhada) e raio 2 (contínua). A região do anel entre elas (1 excluído, 2 incluído) é \mathcal{E}; a região fora da circunferência de raio 1 é \mathcal{A}.
  • Em (4,3) desenhar a circunferência de raio \sqrt{2} (pontilhada) e sombrear seu interior para representar \mathcal{B}.
  • A interseção \mathcal{D} aparece como a parte sombreada do disco em (4,3) que está fora do círculo de raio 1 em (2,3). A interseção \mathcal{E} aparece como o anel indicado entre as duas circunferências centradas em (2,3).
  • Indique sempre com ponto aberto (círculo vazio) a fronteira excluída e com ponto preenchido ou traço sólido a fronteira incluída.

Resposta

(a) \mathcal{A} é o exterior do disco de centro (2,3) e raio 1; a circunferência (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1 está excluída.
(b) \mathcal{B} é o disco aberto de centro (4,3) e raio \sqrt{2} (fronteira excluída).
(c) \mathcal{C} é o disco fechado de centro (2,3) e raio 2 (fronteira incluída).
(d) \mathcal{D}=\mathcal{A}\cap\mathcal{B} é a porção do disco aberto centrado em (4,3) de raio \sqrt{2} que fica fora do disco de raio 1 centrado em (2,3); as fronteiras das circunferências estão ambas excluídas.
(e) \mathcal{E}=\mathcal{A}\cap\mathcal{C} é o anel centrado em (2,3) com 1< (x-2)^{2}+(y-3)^{2}\le 4 (raio interno 1 excluído, raio externo 2 incluído).

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