Esboce os seguintes subconjuntos do plano:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- São dados cinco subconjuntos do plano, definidos por desigualdades do tipo
comparado a um número. - O enunciado pede que esbocemos (ou seja, que descrevamos geometricamente e como desenhar) os conjuntos:
(a).
(b).
(c).
(d).
(e).
Informações relevantes extraídas do enunciado (cada número/variável abaixo está em notação matemática):
- Em (a) e (c) aparece o mesmo centro
. - Em (b) o centro é
. - As quantidades à direita das igualdades indicam
dos círculos: em (a) então ; em (b) então ; em (c) então . - Distância entre os centros
e é
Passo 2
Aulas rápidas de geometria do plano (fórmulas e interpretação das desigualdades) — isto é importante para saber o que desenhar.
- Uma equação de círculo centrado em
e de raio é
Aqui
é um ponto genérico do plano,
e
coordenadas do centro, e
o raio.
-
As desigualdades interpretam regiões relativas ao círculo:
- Se
então o ponto está no interior do círculo (disco aberto). - Se
então o ponto está no interior ou na fronteira (disco fechado). - Se
então o ponto está no exterior do círculo (fora do disco), a fronteira também está excluída. - Se for
então o ponto está exatamente na circunferência.
- Se
-
Como desenhar: marcar o centro, traçar uma circunferência com o raio indicado; usar traço contínuo quando a fronteira está incluída (
ou ), e traço pontilhado/círculo aberto quando a fronteira está excluída ( ou ). Depois sombrear a região interior ou exterior conforme a desigualdade.
Passo 3
Descrever e explicar como esboçar
.
- Identificar centro e raio: da forma
obtemos centro e , então . - Interpretação: trata-se do conjunto de pontos cuja distância ao ponto
é maior que . Em palavras: é o exterior do disco de raio centrado em ; a circunferência de raio está excluída (porque não permite igualdade). - Como desenhar passo a passo:
- Desenhar o plano cartesiano.
- Marcar o ponto
. - Desenhar uma circunferência de raio
centrada em , com traço pontilhado (ou desenhar-a contínua e indicar com um círculo o ponto que representa que a fronteira não pertence). - Sombrear todo o resto do plano fora dessa circunferência (ou deixar sem sombreado dentro e marcar claramente que a região externa é o conjunto).
- Observação topológica rápida:
é um conjunto aberto (complemento do disco fechado de raio ).
Passo 4
Descrever e explicar como esboçar
.
- Identificar centro e raio: de
obtemos centro e , então (aprox. ). - Interpretação: é o disco aberto centrado em
com raio ; a fronteira (circunferência) está excluída porque a desigualdade é estrita . - Como desenhar passo a passo:
- Marcar o ponto
. - Traçar a circunferência de raio
em traço pontilhado (ou indicar a fronteira como não pertencente). - Sombrear a região interna a essa circunferência (mas sem incluir a circunferência).
- Marcar o ponto
- Relação com o centro
: a distância entre os centros é , que é maior que de ( ) e maior que de ( ), logo as duas circunferências podem intersectar; vamos estudar isso ao tratar da interseção.
Passo 5
Descrever e explicar como esboçar
.
- Identificar centro e raio: de
obtemos centro e , então . - Interpretação: é o disco fechado centrado em
com raio ; a fronteira está incluída (porque ). - Como desenhar:
- Marcar o ponto
(mesmo centro de ). - Traçar a circunferência de raio
com traço contínuo (fronteira incluída). - Sombrear o interior e a fronteira (disco fechado).
- Marcar o ponto
- Observação: o ponto
tem distância a , portanto está sobre a fronteira de e, como usa , o ponto pertence a .
Passo 6
Estudar e esboçar [\mathcal{D}=\mathcal{A}\cap\mathcal{B}).
- Em palavras:
são os pontos que simultaneamente estão fora do disco de raio centrado em (fronteira excluída) e dentro do disco de raio centrado em (fronteira excluída). Ou seja,
- Primeiro verificar se há interseção não vazia: como a soma dos raios
é maior que a distância entre centros , as duas circunferências se intersectam em dois pontos; portanto existe região comum. - Podemos calcular os pontos de interseção das duas circunferências (úteis para esboçar): resolver o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Desenvolvendo e simplificando obtemos
Substituindo em uma das equações:
Logo
Esses são os dois pontos de interseção (estes pontos pertencem às fronteiras de ambos os círculos; como ambos
têm desigualdades estritas na fronteira, esses pontos não pertencem a
, mas servem para traçar exatamente onde as circunferências se cruzam).
- Descrição final da região:
é a parte do disco aberto centrado em de raio que fica externamente ao disco fechado de raio centrado em ; geometricamente é um “bocado” (porção) do disco de que fica fora do pequeno disco centrado em . Ambos os limites (as duas circunferências) são excluídos. - Como esboçar
: - Desenhar ambas as circunferências; marque as interseções nos pontos calculados
. - Trace as fronteiras pontilhadas (já que
e têm fronteiras excluídas). - Sombrar apenas a região dentro da circunferência de
e fora da circunferência de raio ; não sombrear os contornos.]
- Desenhar ambas as circunferências; marque as interseções nos pontos calculados
Passo 7
Estudar e esboçar
.
- Em palavras:
são os pontos que estão fora do disco de raio centrado em (com fronteira excluída) e ao mesmo tempo dentro ou sobre o disco de raio centrado em (fronteira incluída). Ou seja,
- Interpretação simples: é um anel (anel circular) centrado em
, com raio interno (não incluído) e raio externo (incluído). Em termos de distância ao centro ,
ou equivalentemente
.
- Como esboçar:
- Desenhar duas circunferências concêntricas centradas em
: uma de raio (pontilhada, porque está excluída) e outra de raio (traço contínuo, porque está incluída). - Sombrar a região entre elas, incluindo a fronteira externa e excluindo a interna.
- Desenhar duas circunferências concêntricas centradas em
- Observação: o ponto
(centro de ) tem distância de e portanto pertence a (pois a fronteira externa é incluída).
Passo 8
Resumo prático de como desenhar todos juntos (se quiser colocar tudo no mesmo esboço).
- Desenhar o plano e marcar os dois centros
e . - Em
desenhar duas circunferências concêntricas: raio (pontilhada) e raio (contínua). A região do anel entre elas (1 excluído, 2 incluído) é ; a região fora da circunferência de raio é . - Em
desenhar a circunferência de raio (pontilhada) e sombrear seu interior para representar . - A interseção
aparece como a parte sombreada do disco em que está fora do círculo de raio em . A interseção aparece como o anel indicado entre as duas circunferências centradas em . - Indique sempre com ponto aberto (círculo vazio) a fronteira excluída e com ponto preenchido ou traço sólido a fronteira incluída.
Resposta
(a)
é o exterior do disco de centro
e raio
; a circunferência
está excluída.
(b) é o disco aberto de centro
e raio
(fronteira excluída).
(c) é o disco fechado de centro
e raio
(fronteira incluída).
(d) é a porção do disco aberto centrado em
de raio
que fica fora do disco de raio
centrado em
; as fronteiras das circunferências estão ambas excluídas.
(e) é o anel centrado em
com
(raio interno
excluído, raio externo
incluído).
(b)
(c)
(d)
(e)