Considere a mesma partícula agora com energia positiva
propagando-se da esquerda para a direita.
(a) Mostre que o estado estacionário pode ser escrito como:
onde
e
devem ser determinados.
(b) Defina
. Calcule os coeficientes de reflexão
e transmissão
em termos de
.
Estude o comportamento de
e
quando:
-
-
(a) Mostre que o estado estacionário pode ser escrito como:
(b) Defina
Estude o comportamento de
Passo 1
O enunciado dá a forma proposta do estado estacionário para uma partícula incidindo da esquerda com energia positiva e pede para determinar
,
e
. Também define
(o que sugere que o potencial é um delta atraente
, com
). As quantidades que precisamos encontrar são:
- a constante de onda
associada à energia ; - os coeficientes complexos
(onda refletida) e (onda transmitida); - os coeficientes de reflexão
e transmissão em termos de ; - o comportamento de
e quando e quando .
Vou usar a equação de Schrödinger estacionária e as condições de contorno apropriadas para um potencial delta no ponto
.
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo para região sem potencial (para
):
Para
definimos a constante de onda
Isto garante que as soluções em cada região são combinações de exponenciais complexas oscilatórias
. Assim a forma proposta
é a ansatz correta para uma partícula vindo da esquerda: termo incidente
, refletida
, transmitida
.
Passo 3
Agora aplico as condições de contorno no ponto
. Para um potencial
a função de onda é contínua em
e sua derivada possui um salto determinado pela integral da equação de Schrödinger sobre um intervalo pequeno em torno de
. Faço isso explicitamente:
Integrando
de
a
e tomando
,
Como
temos
. Logo
Esta é a condição do salto da derivada para o delta atraente.
A condição de continuidade é simplesmente
Passo 4
Avalio as condições usando a ansatz. Continuidade em
:
portanto
Agora a derivada de cada ramo: para
,
Para
,
Aplicando a condição do salto:
Usando
simplifica a expressão:
Igualando com o resultado da integração:
Cancelando o fator
,
Passo 5
Resolvo o sistema linear
e
. É conveniente definir
Então a segunda equação fica
(porque
). Assim
Isolando
:
E então
Recordando que
, temos
.
Passo 6
Agora obtenho expressões mais físicas para
em termos de
e da energia de referência
. Calculo
:
Portanto
Com isso podemos escrever os módulos ao quadrado necessários para refletância e transmitância.
Passo 7
Defino as probabilidades de corrente (fluxo) e relaciono com
e
. O fluxo (densidade de corrente) para uma onda plana
é
. Para a onda incidente
temos
. Para a refletida
o fluxo para a esquerda tem magnitude
. Para a transmitida
o fluxo à direita é
. Assim os coeficientes adimensionais são
Agora calculo
e
. Como
,
E como
,
Usando
obtemos as formas em termos de
:
Verifica-se imediatamente que
, como deve ser para este potencial conservativo com mesmas velocidades à esquerda e à direita.
Passo 8
Estudo os limites pedidos:
- Quando
, temos , portanto
Interpretação física: a partícula muito lenta é quase totalmente refletida pelo poço delta atraente (barreira efetiva para baixas energias).
- Quando
, temos , portanto
Interpretação: partículas de alta energia quase não “veem” o potencial delta e transmitem praticamente sem reflexão.
Resposta
Quando
Quando