Mostrar que a densidade de probabilidade depende do tempo.
Determinar a frequência de oscilação dessa dependência temporal.
Informações úteis que já temos (sem assumir nada extra): \psi_{1}(x) e \psi_{2}(x) são funções de posição (possivelmente complexas) e E_{1},E_{2} são as energias associadas; \hbar é a constante de Planck reduzida. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Lembrete rápido (matemática que vamos usar, explicado passo a passo):
O módulo ao quadrado de uma função complexa é dado por |\Psi|^{2}=\Psi^{*}\Psi, onde \Psi^{*} é o conjugado complexo de \Psi.
O conjugado complexo de um produto é o produto dos conjugados, e (e^{-i\theta})^{*}=e^{i\theta}.
Agora calculemos o conjugado de \Psi. Usando a expressão dada:
Aqui escrevi \psi_{j} e \psi_{j}^{*} abreviando a dependência em x para não poluir a fórmula; nas contas da prova mantenha x visível se preferir.
Passo 4
Simplificamos os termos cruzados usando a noção de parte real. Observe que os dois últimos termos são conjugados um do outro, então juntos formam duas vezes a parte real de um deles. Definindo \Delta E = E_{2}-E_{1}, obtemos:
Deste modo fica claro que a densidade contém um termo oscilatório em t proporcional a \cos\big(\tfrac{\Delta E}{\hbar}t+\delta(x)\big). Logo, salvo casos especiais (por exemplo se R(x)=0 para aquele x, ou \Delta E=0), a densidade de probabilidade varia no tempo. Isso resolve o item 2: a dependência temporal vem do termo de interferência entre os dois componentes da superposição.
Passo 6
Agora determinamos a frequência de oscilação. O argumento do cosseno é \frac{\Delta E}{\hbar}t+\delta(x), então a pulsação (frequência angular) é
Interpretação prática: a densidade oscila no tempo com pulsação \omega; por exemplo, se \psi_{1}^{*}\psi_{2} for real e positiva em algum ponto x, então nesse ponto |\Psi|^{2} varia como \cos(\omega t) multiplicado por uma amplitude espacial R(x).
Sim: a densidade de probabilidade depende do tempo devido ao termo de interferência 2\operatorname{Re}\{\psi_{1}^{*}\psi_{2}e^{-i(E_{2}-E_{1})t/\hbar}\}, que oscila em t.