Considere a superposição:
\Psi(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi_{1}(x) e^{-i E_{1} t / \hbar}+\psi_{2}(x) e^{-i E_{2} t / \hbar}\right)
  1. Calcule |\Psi(x, t)|^{2}.
  2. Mostre que a densidade de probabilidade depende do tempo.
  3. Determine a frequência de oscilação.

Passo 1

O enunciado nos dá a superposição temporal
\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\psi_{1}(x)e^{-iE_{1}t/\hbar}+\psi_{2}(x)e^{-iE_{2}t/\hbar}\Big).
As perguntas são:
  1. Calcular |\Psi(x,t)|^{2}.
  2. Mostrar que a densidade de probabilidade depende do tempo.
  3. Determinar a frequência de oscilação dessa dependência temporal.
Informações úteis que já temos (sem assumir nada extra): \psi_{1}(x) e \psi_{2}(x) são funções de posição (possivelmente complexas) e E_{1},E_{2} são as energias associadas; \hbar é a constante de Planck reduzida. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Lembrete rápido (matemática que vamos usar, explicado passo a passo):
  • O módulo ao quadrado de uma função complexa é dado por |\Psi|^{2}=\Psi^{*}\Psi, onde \Psi^{*} é o conjugado complexo de \Psi.
  • O conjugado complexo de um produto é o produto dos conjugados, e (e^{-i\theta})^{*}=e^{i\theta}.
    Agora calculemos o conjugado de \Psi. Usando a expressão dada:
\Psi^{*}(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\psi_{1}^{*}(x)e^{iE_{1}t/\hbar}+\psi_{2}^{*}(x)e^{iE_{2}t/\hbar}\Big).

Passo 3

Multiplicamos \Psi^{*} por \Psi e expandimos os termos (faça isso com calma na prova; é só distribuir termo a termo):
|\Psi(x,t)|^{2}=\Psi^{*}\Psi=\frac{1}{2}\Big[ \psi_{1}^{*}\psi_{1}+\psi_{2}^{*}\psi_{2} +\psi_{1}^{*}\psi_{2}e^{i(E_{1}-E_{2})t/\hbar} +\psi_{2}^{*}\psi_{1}e^{i(E_{2}-E_{1})t/\hbar} \Big].
Aqui escrevi \psi_{j} e \psi_{j}^{*} abreviando a dependência em x para não poluir a fórmula; nas contas da prova mantenha x visível se preferir.

Passo 4

Simplificamos os termos cruzados usando a noção de parte real. Observe que os dois últimos termos são conjugados um do outro, então juntos formam duas vezes a parte real de um deles. Definindo \Delta E = E_{2}-E_{1}, obtemos:
|\Psi(x,t)|^{2}=\frac{1}{2}\Big(|\psi_{1}(x)|^{2}+|\psi_{2}(x)|^{2} +2\operatorname{Re}\big\{\psi_{1}^{*}(x)\psi_{2}(x)e^{-i\Delta E\,t/\hbar}\big\}\Big).
Explicando cada símbolo:
  • |\psi_{j}(x)|^{2}=\psi_{j}^{*}(x)\psi_{j}(x) é a densidade associada ao estado \psi_{j}.
  • \operatorname{Re}\{\cdot\} toma a parte real de um número complexo.
    Esta expressão é a resposta direta e explícita para o item 1.

Passo 5

Para mostrar a dependência temporal de forma ainda mais clara, escrevemos \psi_{1}^{*}(x)\psi_{2}(x) em forma de magnitude e fase:
\psi_{1}^{*}(x)\psi_{2}(x)=R(x)e^{i\delta(x)},
onde R(x)=\big|\psi_{1}^{*}(x)\psi_{2}(x)\big|\ge 0 e \delta(x) é a fase (que pode depender de x). Substituindo na expressão de |\Psi|^{2} obtemos
|\Psi(x,t)|^{2}=\frac{1}{2}\Big(|\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2}+2R(x)\cos\!\big(\tfrac{\Delta E}{\hbar}t+\delta(x)\big)\Big).
Deste modo fica claro que a densidade contém um termo oscilatório em t proporcional a \cos\big(\tfrac{\Delta E}{\hbar}t+\delta(x)\big). Logo, salvo casos especiais (por exemplo se R(x)=0 para aquele x, ou \Delta E=0), a densidade de probabilidade varia no tempo. Isso resolve o item 2: a dependência temporal vem do termo de interferência entre os dois componentes da superposição.

Passo 6

Agora determinamos a frequência de oscilação. O argumento do cosseno é \frac{\Delta E}{\hbar}t+\delta(x), então a pulsação (frequência angular) é
\omega=\frac{\Delta E}{\hbar}=\frac{E_{2}-E_{1}}{\hbar}.
A frequência comum (ciclos por segundo) é
\nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{E_{2}-E_{1}}{2\pi\hbar},
e o período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\hbar}{E_{2}-E_{1}}.
Interpretação prática: a densidade oscila no tempo com pulsação \omega; por exemplo, se \psi_{1}^{*}\psi_{2} for real e positiva em algum ponto x, então nesse ponto |\Psi|^{2} varia como \cos(\omega t) multiplicado por uma amplitude espacial R(x).

Resposta

|\Psi(x,t)|^{2}=\frac{1}{2}\Big(|\psi_{1}(x)|^{2}+|\psi_{2}(x)|^{2} +2\operatorname{Re}\big\{\psi_{1}^{*}(x)\psi_{2}(x)e^{-i(E_{2}-E_{1})t/\hbar}\big\}\Big)
Sim: a densidade de probabilidade depende do tempo devido ao termo de interferência 2\operatorname{Re}\{\psi_{1}^{*}\psi_{2}e^{-i(E_{2}-E_{1})t/\hbar}\}, que oscila em t.
\text{Pulsação: }\omega=\frac{E_{2}-E_{1}}{\hbar},\qquad \text{frequência: }\nu=\frac{E_{2}-E_{1}}{2\pi\hbar},\qquad \text{período: }T=\frac{2\pi\hbar}{E_{2}-E_{1}}.çãêí

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