c. Considere a mesma taxa de produção de NaOH em escamas, porém o filtrado não é reciclado. Qual seria então a taxa total de alimentação de 40 \% de NaOH? Considere que a corrente de saída do evaporador ainda contém 50 \% de NaOH .

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • A alimentação (feed) é solução de NaOH a \,40\%\, (fração mássica \,0,40).
    • A corrente de saída do evaporador (o filtrado / liquor mãe que NÃO é reciclado) contém \,50\%\, de NaOH (fração mássica \,0,50).
    • A produção de NaOH em escamas (produto sólido) é a mesma da questão anterior, mas o enunciado aqui não trouxe um valor numérico. Vou chamar essa taxa de produção de \dot{P} (unidade: massa por tempo, ex.: \mathrm{kg/h}).
  • O que se pede:
    • A taxa total de alimentação da solução a \,40\%\, necessária para sustentar a produção de escamas \dot{P}, quando o filtrado a \,50\%\, não é reciclado.
Observação importante: o enunciado não fornece numericamente \dot{P} nem a vazão do filtrado. Por isso a resposta será em forma algébrica (fórmula). Se quiser um número, forneça a \dot{P} (taxa de produção de escamas) que eu já converto.

Passo 2

Definir variáveis e lembrar o princípio físico usado (balanço de massa de NaOH).
  • Variáveis:
    • \dot{F} = taxa de alimentação da solução a \,40\%\, (massa por tempo) — é o que queremos.
    • \dot{P} = taxa de produção de NaOH em escamas (massa de NaOH sólida por tempo).
    • \dot{S} = taxa da corrente filtrado / liquor mãe que sai do evaporador (massa por tempo) — essa corrente contém \,50\%\, de NaOH.
  • Frações mássicas:
    • Fração mássica de NaOH no feed: \,x_F=0,40.
    • Fração mássica de NaOH no filtrado: \,x_S=0,50.
  • Princípio: como NaOH não é gerado nem consumido quimicamente, aplica‑se o balanço de massa do componente NaOH em regime estacionário:
    • NaOH entrando pela alimentação = NaOH que sai no produto sólido + NaOH que sai no filtrado + (NaOH em vapores). Geralmente assume‑se que o vapor é água pura (NaOH não volatiliza), portanto vapor não carrega NaOH. Assim o balanço simplifica para: \text{NaOH in feed}=\text{NaOH in product}+\text{NaOH in filtrado}.

Passo 3

Escrever o balanço de NaOH em forma matemática.
  • NaOH na alimentação: \,x_F\dot{F}=0,40\dot{F}.
  • NaOH no produto sólido: \,\dot{P} (assumindo escamas praticamente puras em massa de NaOH).
  • NaOH no filtrado: \,x_S\dot{S}=0,50\dot{S}.
Portanto o balanço de NaOH é:
0,40\dot{F}=\dot{P}+0,50\dot{S}.

Passo 4

Isolar \dot{F} para obter a taxa de alimentação em função de \dot{P} e \dot{S}.
Resolvendo a equação do passo anterior para \dot{F}:
\dot{F}=\frac{\dot{P}+0,50\dot{S}}{0,40}.
Essa é a relação básica: para produzir \dot{P} de NaOH sólido, a alimentação de 40\% deve suprir tanto o NaOH do produto quanto o NaOH que sai no filtrado (50%) que não é reciclado.

Passo 5

Interpretação prática e casos especiais (para entender como usar a fórmula na prova).
  • A fórmula mostra que, para obter um valor numérico de \dot{F}, é necessário conhecer também \dot{S} (vazão do filtrado). Se o exercício anterior dava \dot{P} e/ou \dot{S}, basta substituir.
  • Caso particular útil (base por unidade de produto): dividir tudo por \dot{P} e definir r=\dfrac{\dot{S}}{\dot{P}} (razão filtrado por produto). Então \frac{\dot{F}}{\dot{P}}=\frac{1+0,50\,r}{0,40}.Isso dá a massa de alimentação a 40\% necessária por unidade de NaOH sólido produzida, em função de r.
  • Caso extremo (limite inferior): se não houvesse filtrado perdido ( \dot{S}=0, hipótese não realista aqui porque enunciado diz que o filtrado não é reciclado), então \dot{F}_{\min}=\frac{\dot{P}}{0,40}=2{,}5\,\dot{P}.Ou seja, o mínimo possível de alimentação é 2{,}5 vezes a massa de NaOH produzido (por kg de produto, 2,5 kg de solução 40%). Na prática, com filtrado saindo, a alimentação será maior que isso.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como usar a fórmula).
  • Suponha, por exemplo, \dot{P}=1000\\ \mathrm{kg/h} e que, por dados de processo, o filtrado seja \dot{S}=400\\ \mathrm{kg/h}. Então \dot{F}=\frac{1000+0,50\times 400}{0,40}=\frac{1000+200}{0,40}=\frac{1200}{0,40}=3000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Esse exemplo mostra a aplicação: troque \dot{P} e \dot{S} pelos valores do seu problema que vieram na parte anterior.

Resposta

\dot{F}=\frac{\dot{P}+0,50\,\dot{S}}{0,40}

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