1. (Reciclo) A alimentação fresca de um processo de preparação de soda (NaOH) em escamas, que é usada em lares para desentupir ralos, corresponde a 10.000 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de uma solução aquosa 40 \% de NaOH. A alimentação fresca é combinada com o filtrado reciclado do cristalizador e alimentada para o evaporador, onde a água é removida para produzir uma solução de 50 \% de NaOH que, por sua vez, alimenta o cristalizador. O cristalizador produz uma torta de filtração que contém 95 \% de cristais de NaOH e 5 \% de uma solução que consiste em 45 \% de NaOH .

Passo 1

O enunciado fornece (peguei estes números do enunciado):
  • Alimentação fresca: \,10\,000\\ \mathrm{lb/h} de solução a \,40\% de NaOH.
  • A alimentação fresca é misturada com o filtrado reciclado do cristalizador e vai ao evaporador.
  • O evaporador produz uma solução a \,50\% de NaOH que alimenta o cristalizador.
  • O cristalizador produz uma torta (cake) cuja composição é:
    • 95\% de cristais de NaOH (assume-se NaOH sólido puro),
    • 5\% de uma solução (a parte líquida do cake) cuja composição é 45\% de NaOH.
  • O filtrado reciclado que volta do cristalizador tem composição 45\% de NaOH (é o líquido separado).
O que vamos determinar (objetivos implícitos que geralmente o exercício pede):
  • Taxa de reciclo (filtrado) R em \mathrm{lb/h}.
  • Taxa de produção de cake P em \mathrm{lb/h}.
  • Vazão da solução concentrada que sai do evaporador e alimenta o cristalizador S em \mathrm{lb/h}.
  • (Opcional útil) taxa de cristais puros de NaOH produzidos por hora.
Vou resolver isso com balanços de massa total e de componente (NaOH), em regime estacionário.

Passo 2

Definições de variáveis (tudo em \mathrm{lb/h}):
  • F = vazão da alimentação fresca =10\,000.
  • Fração mássica de NaOH na alimentação fresca =40\%.
  • R = vazão do filtrado reciclado (incógnita).
  • S = vazão da solução a 50\% que sai do evaporador e entra no cristalizador (incógnita).
  • P = vazão do cake (incógnita).
  • Todas as composições:
    • NaOH na alimentação fresca: 0{,}40 (fração mássica).
    • Solução do evaporador: 0{,}50.
    • Filtrado reciclado: 0{,}45.
    • Cake: 95\% cristais de NaOH (sólidos puros) + 5\% solução ao 45\% de NaOH.
Explicação didática rápida dos tipos de balanços que usaremos:
  • Balanço de componente (NaOH): a massa de NaOH entra = massa de NaOH sai, independentemente da fase (líquida ou sólida).
  • Balanço total (massa): a massa total entra = massa total sai.
    No cristalizador vai haver uma corrente sólida (cristais) e uma corrente líquida (filtrado). No evaporador evapora-se água, mas NaOH é conservado.

Passo 3

Escrever os balanços matemáticos.
  1. Balanço de NaOH na alimentação ao evaporador (evaporador não consome NaOH): NaOH do fresco + NaOH do reciclo = NaOH na solução concentrada S.
    Em símbolos:
0{,}40F + 0{,}45R = 0{,}50S.
  1. No cristalizador a corrente de alimentação é S e as saídas são cake P e filtrado reciclado R. Balanço total de massa no cristalizador:
S = P + R.
  1. Balanço de NaOH no cristalizador: NaOH em S = NaOH no cake + NaOH no filtrado R.
  • NaOH em S: 0{,}50S.
  • NaOH no cake: o cake tem 95\% de cristais (cada grama é NaOH puro) e 5\% de solução que contém 45\% NaOH. Então
    • massa de cristais (NaOH puro) no cake = 0{,}95P,
    • massa de NaOH na porção líquida do cake = 0{,}05P\cdot 0{,}45 = 0{,}0225P.
    • total de NaOH no cake = 0{,}95P + 0{,}0225P = 0{,}9725P.
  • NaOH no filtrado = 0{,}45R.
Portanto o balanço de NaOH no cristalizador:
0{,}50S = 0{,}9725P + 0{,}45R.
Observação: a equação do evaporador de NaOH e a do cristalizador são relacionadas; usaremos as iguais simultaneamente.

Passo 4

Reduzir o sistema de equações e resolver as incógnitas [P), R, S.
Temos três equações:
\begin{cases} 0{,}40F + 0{,}45R = 0{,}50S,\\[4pt] S = P + R,\\[4pt] 0{,}50S = 0{,}9725P + 0{,}45R. \end{cases}
Substitua S = P + R\] nas equações que têm \(S.
Da primeira equação (evaporador), com F=10\,000:
0{,}40\cdot 10\,000 + 0{,}45R = 0{,}50(P+R).
Calcule 0{,}40\cdot 10\,000 = 4\,000. Assim:
4\,000 + 0{,}45R = 0{,}50P + 0{,}50R.
Rearranjando termos para agrupar as incógnitas:
4\,000 = 0{,}50P + 0{,}50R - 0{,}45R = 0{,}50P + 0{,}05R.
Multiplicando ambos os lados por 20 para eliminar decimais:
80\,000 = 10P + R.
Isolando R:
R = 80\,000 - 10P. \tag{A}
Agora use a equação do balanço de NaOH no cristalizador, substituindo S=P+R:
0{,}50(P+R) = 0{,}9725P + 0{,}45R.
Expandindo o lado esquerdo:
0{,}50P + 0{,}50R = 0{,}9725P + 0{,}45R.
Reagrupando:
0{,}50R - 0{,}45R = 0{,}9725P - 0{,}50P.
0{,}05R = 0{,}4725P.
Logo
R = \frac{0{,}4725}{0{,}05}\,P = 9{,}45\,P. \tag{B}
Agora iguale (A) e (B): 9{,}45P = 80\,000 - 10P.
Somando 10P aos dois lados:
9{,}45P + 10P = 80\,000 \quad\Rightarrow\quad 19{,}45P = 80\,000.
Isolando P:
P = \frac{80\,000}{19{,}45}.
Para calcular sem pular etapas, multiplica-se numerador e denominador por 100:
P = \frac{8\,000\,000}{1\,945}.
Agora faça a divisão inteira aproximada:
  • 1\,945\cdot 4\,113 = 1\,945\cdot(4\,000 + 113) = 7\,780\,000 + 219\,785 = 7\,999\,785.
  • Resto: 8\,000\,000 - 7\,999\,785 = 215.
  • Portanto P \approx 4\,113 + \dfrac{215}{1\,945} \approx 4\,113 + 0{,}1106 \approx 4\,113{,}11\\ \mathrm{lb/h}.
Assim
P \approx 4\,113{,}11\\ \mathrm{lb/h}.
Usando (B) para R:
R = 9{,}45\cdot P \approx 9{,}45\cdot 4\,113{,}11 \approx 38\,868{,}89\\ \mathrm{lb/h}.
E S = P + R:
S \approx 4\,113{,}11 + 38\,868{,}89 = 42\,982{,}00\\ \mathrm{lb/h}.]

Passo 5

Verificações rápidas (balanço de NaOH) para garantir que não houve erro aritmético:
  • NaOH entrante da alimentação fresca: 0{,}40F = 0{,}40\cdot 10\,000 = 4\,000\\ \mathrm{lb/h}.
  • NaOH entrante no reciclo: 0{,}45R \approx 0{,}45\cdot 38\,868{,}89 \approx 17\,490{,}00\\ \mathrm{lb/h}.
  • Total de NaOH para evaporador: 4\,000 + 17\,490{,}00 = 21\,490{,}00\\ \mathrm{lb/h}.
  • NaOH na solução S (50%): 0{,}50S \approx 0{,}50\cdot 42\,982{,}00 = 21\,491{,}00\\ \mathrm{lb/h}.
Há uma diferença muito pequena ( \approx 1\\ \mathrm{lb/h}) apenas por arredondamento nas etapas intermediárias; com mais casas decimais as equações fecham exatamente. Portanto os valores encontrados são consistentes.
Cálculo adicional útil: massa de cristais puros produzidos por hora (parte sólida do cake):
\text{Cristais} = 0{,}95P \approx 0{,}95\cdot 4\,113{,}11 \approx 3\,907{,}45\\ \mathrm{lb/h}.

Resposta

P \approx 4\,113{,}11\\ \mathrm{lb/h} (torta de filtração, cake).
R \approx 38\,868{,}89\\ \mathrm{lb/h} (filtrado reciclado).
S \approx 42\,982{,}00\\ \mathrm{lb/h} (solução 50\% que sai do evaporador).
Cristais de NaOH (sólidos puros) \approx 3\,907{,}45\\ \mathrm{lb/h}.

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