(Reciclo) A alimentação fresca de um processo de preparação de soda (NaOH) em escamas, que é usada em lares para desentupir ralos, corresponde a 10.000 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de uma solução aquosa 40 \% de NaOH. A alimentação fresca é combinada com o filtrado reciclado do cristalizador e alimentada para o evaporador, onde a água é removida para produzir uma solução de 50 \% de NaOH que, por sua vez, alimenta o cristalizador. O cristalizador produz uma torta de filtração que contém 95 \% de cristais de NaOH e 5 \% de uma solução que consiste em 45 \% de NaOH .
Passo 1
O enunciado fornece (peguei estes números do enunciado):
Alimentação fresca: \,10\,000\\ \mathrm{lb/h} de solução a \,40\% de NaOH.
A alimentação fresca é misturada com o filtrado reciclado do cristalizador e vai ao evaporador.
O evaporador produz uma solução a \,50\% de NaOH que alimenta o cristalizador.
O cristalizador produz uma torta (cake) cuja composição é:
95\% de cristais de NaOH (assume-se NaOH sólido puro),
5\% de uma solução (a parte líquida do cake) cuja composição é 45\% de NaOH.
O filtrado reciclado que volta do cristalizador tem composição 45\% de NaOH (é o líquido separado).
O que vamos determinar (objetivos implícitos que geralmente o exercício pede):
Taxa de reciclo (filtrado) R em \mathrm{lb/h}.
Taxa de produção de cake P em \mathrm{lb/h}.
Vazão da solução concentrada que sai do evaporador e alimenta o cristalizador S em \mathrm{lb/h}.
(Opcional útil) taxa de cristais puros de NaOH produzidos por hora.
Vou resolver isso com balanços de massa total e de componente (NaOH), em regime estacionário.
Passo 2
Definições de variáveis (tudo em \mathrm{lb/h}):
F = vazão da alimentação fresca =10\,000.
Fração mássica de NaOH na alimentação fresca =40\%.
R = vazão do filtrado reciclado (incógnita).
S = vazão da solução a 50\% que sai do evaporador e entra no cristalizador (incógnita).
P = vazão do cake (incógnita).
Todas as composições:
NaOH na alimentação fresca: 0{,}40 (fração mássica).
Solução do evaporador: 0{,}50.
Filtrado reciclado: 0{,}45.
Cake: 95\% cristais de NaOH (sólidos puros) + 5\% solução ao 45\% de NaOH.
Explicação didática rápida dos tipos de balanços que usaremos:
Balanço de componente (NaOH): a massa de NaOH entra = massa de NaOH sai, independentemente da fase (líquida ou sólida).
Balanço total (massa): a massa total entra = massa total sai.
No cristalizador vai haver uma corrente sólida (cristais) e uma corrente líquida (filtrado). No evaporador evapora-se água, mas NaOH é conservado.
Passo 3
Escrever os balanços matemáticos.
Balanço de NaOH na alimentação ao evaporador (evaporador não consome NaOH): NaOH do fresco + NaOH do reciclo = NaOH na solução concentrada S.
Em símbolos:
0{,}40F + 0{,}45R = 0{,}50S.
No cristalizador a corrente de alimentação é S e as saídas são cake P e filtrado reciclado R. Balanço total de massa no cristalizador:
S = P + R.
Balanço de NaOH no cristalizador: NaOH em S = NaOH no cake + NaOH no filtrado R.
NaOH em S: 0{,}50S.
NaOH no cake: o cake tem 95\% de cristais (cada grama é NaOH puro) e 5\% de solução que contém 45\% NaOH. Então
massa de cristais (NaOH puro) no cake = 0{,}95P,
massa de NaOH na porção líquida do cake = 0{,}05P\cdot 0{,}45 = 0{,}0225P.
total de NaOH no cake = 0{,}95P + 0{,}0225P = 0{,}9725P.
NaOH no filtrado = 0{,}45R.
Portanto o balanço de NaOH no cristalizador:
0{,}50S = 0{,}9725P + 0{,}45R.
Observação: a equação do evaporador de NaOH e a do cristalizador são relacionadas; usaremos as iguais simultaneamente.
Passo 4
Reduzir o sistema de equações e resolver as incógnitas [P), R, S.
Temos três equações:
\begin{cases} 0{,}40F + 0{,}45R = 0{,}50S,\\[4pt] S = P + R,\\[4pt] 0{,}50S = 0{,}9725P + 0{,}45R. \end{cases}
Total de NaOH para evaporador: 4\,000 + 17\,490{,}00 = 21\,490{,}00\\ \mathrm{lb/h}.
NaOH na solução S (50%): 0{,}50S \approx 0{,}50\cdot 42\,982{,}00 = 21\,491{,}00\\ \mathrm{lb/h}.
Há uma diferença muito pequena (\approx 1\\ \mathrm{lb/h}) apenas por arredondamento nas etapas intermediárias; com mais casas decimais as equações fecham exatamente. Portanto os valores encontrados são consistentes.
Cálculo adicional útil: massa de cristais puros produzidos por hora (parte sólida do cake):
P \approx 4\,113{,}11\\ \mathrm{lb/h} (torta de filtração, cake). R \approx 38\,868{,}89\\ \mathrm{lb/h} (filtrado reciclado). S \approx 42\,982{,}00\\ \mathrm{lb/h} (solução 50\% que sai do evaporador).
Cristais de NaOH (sólidos puros) \approx 3\,907{,}45\\ \mathrm{lb/h}.