Considere um metal com rede cúbica de corpo centrado, em que a aresta do cubo vale a=4 \AA.
(a) Escreva os vectores da rede primitiva.
(b) Escreva uma possível relação de dispersāo para uma banda de energia.
(c) Qual é o número de coordenação dessa rede?

Passo 1

O enunciado descreve um metal cuja rede de Bravais é cúbica de corpo centrado (bcc) com parâmetro de rede a=4\AA.
Conteúdo: vetores primitivos de uma rede cristalina, relação de dispersão em aproximação tight‐binding (uma banda) e número de coordenação (vizinhos mais próximos).

Passo 2

Para escrever os vetores primitivos de uma rede bcc, lembramos que há um ponto no vértice do cubo e um no centro. Uma escolha padrão é
\mathbf{a}_1 = \frac{a}{2}(-\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}),\quad \mathbf{a}_2 = \frac{a}{2}(\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}),\quad \mathbf{a}_3 = \frac{a}{2}(\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}}).
Esses três vetores geram todos os pontos da rede bcc ao combina-los com coeficientes inteiros.

Passo 3

Para uma banda de energia na aproximação tight‐binding considerando apenas saltos para vizinhos mais próximos (NN), cada átomo tem 8 NN localizados em \pm(a/2,a/2,a/2) e permutações de sinais. O termo de hopping t entre NN gera a dispersão
E(\mathbf{k}) = E_0 + t\sum_{\delta}\exp\bigl(i\mathbf{k}\cdot\delta\bigr) = E_0 + 8\,t\;\cos\!\bigl(\tfrac{k_xa}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{k_ya}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{k_za}{2}\bigr),
onde E_0 é a energia de referência e \delta percorre os oito deslocamentos (\pm a/2,\pm a/2,\pm a/2).

Passo 4

O número de coordenação de uma rede bcc é o número de vizinhos mais próximos de cada sítio de Bravais. Cada ponto da rede bcc tem exatamente 8 vizinhos a uma mesma distância \sqrt3\,a/2.

Resposta

(a)
\mathbf{a}_1 = \tfrac{a}{2}(-\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}}+\hat{\mathbf{z}}),\quad \mathbf{a}_2 = \tfrac{a}{2}(\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{y}}+\hat{\mathbf{z}}),\quad \mathbf{a}_3 = \tfrac{a}{2}(\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}}-\hat{\mathbf{z}})
(b)
E(\mathbf{k}) = E_0 + 8\,t\;\cos\!\bigl(\tfrac{k_xa}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{k_ya}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{k_za}{2}\bigr)
(c) 8

Exercícios relacionados