1. t y^{\prime}+2 y=(\operatorname{sen} t) / t, \quad y(-\pi / 2)=a, \quad t<0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
t\,y' + 2\,y = \frac{\operatorname{sen} t}{t},
no domínio t<0 com a condição inicial y(-\pi/2)=a.
O conteúdo é equação linear de primeira ordem e usaremos o fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividimos a equação por t (não nulo em t<0) para obter a forma padrão
y' + \frac{2}{t}\,y = \frac{\operatorname{sen} t}{t^2}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr) = \exp(\,2\ln|t|\,) = t^2.

Passo 4

Multiplicando toda a equação por t^2 obtemos
t^2y' + 2t\,y = \operatorname{sen} t \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(t^2y\bigr) = \operatorname{sen} t.
Integrando em t,
t^2y = \int \operatorname{sen} t\,dt = -\cos t + C.

Passo 5

Isolando y, vem
y(t) = \frac{-\cos t + C}{t^2}.

Passo 6

Impondo y(-\pi/2)=a, temos
a = \frac{-\cos(-\tfrac{\pi}{2}) + C}{(-\tfrac{\pi}{2})^2} = \frac{0 + C}{\pi^2/4} \;\Longrightarrow\; C = \frac{a\,\pi^2}{4}.

Resposta

y(t) = \frac{\tfrac{a\,\pi^2}{4} - \cos t}{t^2},\quad t<0.

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