Considere um gás de electrōes num metal tridimensional, com uma densidade electrónica
, em que um electrão de momento
tem energia dada por:
(a) A massa
que aparece na equação (1) é a massa do electrão? Justifique.
(b) Como se chama este modelo?
(c) Determine o momento de Fermi
em função de
.
(d) Obtenha a relação entre a energia de Fermi e
.
(e) Obtenha a densidade de estados no nível de Fermi, em função da densidade
.
(f) Explique como a medição do calor específico do gás de electrões a baixas temperaturas permite descobrir a massa efectiva.
(b) Como se chama este modelo?
(c) Determine o momento de Fermi
(d) Obtenha a relação entre a energia de Fermi e
(e) Obtenha a densidade de estados no nível de Fermi, em função da densidade
(f) Explique como a medição do calor específico do gás de electrões a baixas temperaturas permite descobrir a massa efectiva.
Passo 1
O enunciado descreve um gás de electrões livre em três dimensões, com densidade
e dispersão
Pergunta-se:
(a) se é a massa do electrão e por quê;
(b) nome do modelo;
(c) momento de Fermi em função de
;
(d) energia de Fermi em função de ;
(e) densidade de estados no nível de Fermi em função de ;
(f) como o calor específico a baixas permite determinar a massa efectiva.
(a) se
(b) nome do modelo;
(c) momento de Fermi
(d) energia de Fermi em função de
(e) densidade de estados no nível de Fermi em função de
(f) como o calor específico a baixas
Passo 2
(a) Neste modelo idealizado,
aparece como a massa de inércia do electrão. Em metais reais, os electrões movem-se num potencial periodico do retículo, pelo que se usa uma massa efectiva
que incorpora efeitos de banda. Logo,
deve ser interpretada como essa massa efectiva, e só num gás perfeito de electrões sem potencial seria exatamente a massa do electrão livre
.
Passo 3
(b) Este é o modelo do gás de electrões livres (ou modelo de Sommerfeld), em que se trata os electrões como partículas quânticas livres com estatística de Fermi, ignorando interacções e potencial periodico.
Passo 4
(c) A partir do princípio de ocupação no espaço de
, a densidade
(com spin degenerescência 2) é
Daí
e o momento de Fermi é
.
Passo 5
(d) Substituindo
na dispersão, a energia de Fermi é
Passo 6
(e) A densidade de estados por volume é
No nível de Fermi
Passo 7
(f) A baixas temperaturas o calor específico dos electrões varia como
com
Medindo o coeficiente
obtém-se
e, usando o resultado de (e), infere-se
. Essa massa determinada experimentalmente é a massa efectiva
.
Resposta
(a)
é a massa efectiva
, não necessariamente o
livre, pois incorpora efeitos de banda.
(b) Modelo do gás de electrões livres (Sommerfeld).
(c) com
.
(d)
(e)
(f) Pelo coeficiente linear do calor específico
, que é proporcional a
, determina-se a massa efectiva
.
(b) Modelo do gás de electrões livres (Sommerfeld).
(c)
(d)
(e)
(f) Pelo coeficiente linear