Considere um gás de electrōes num metal tridimensional, com uma densidade electrónica n, em que um electrão de momento \hbar \vec{k} tem energia dada por:
\epsilon(\vec{k})=\frac{\hbar^{2}}{2 m}|\vec{k}|^{2}
(a) A massa m que aparece na equação (1) é a massa do electrão? Justifique.
(b) Como se chama este modelo?
(c) Determine o momento de Fermi \hbar k_{F} em função de n.
(d) Obtenha a relação entre a energia de Fermi e n.
(e) Obtenha a densidade de estados no nível de Fermi, em função da densidade n.
(f) Explique como a medição do calor específico do gás de electrões a baixas temperaturas permite descobrir a massa efectiva.

Passo 1

O enunciado descreve um gás de electrões livre em três dimensões, com densidade n e dispersão
\epsilon(\vec{k}) = \frac{\hbar^2}{2m}\lvert \vec{k}\rvert^2.
Pergunta-se:
(a) se m é a massa do electrão e por quê;
(b) nome do modelo;
(c) momento de Fermi \hbar k_F em função de n;
(d) energia de Fermi em função de n;
(e) densidade de estados no nível de Fermi em função de n;
(f) como o calor específico a baixas T permite determinar a massa efectiva.

Passo 2

(a) Neste modelo idealizado, m aparece como a massa de inércia do electrão. Em metais reais, os electrões movem-se num potencial periodico do retículo, pelo que se usa uma massa efectiva m^* que incorpora efeitos de banda. Logo, m deve ser interpretada como essa massa efectiva, e só num gás perfeito de electrões sem potencial seria exatamente a massa do electrão livre m_e.

Passo 3

(b) Este é o modelo do gás de electrões livres (ou modelo de Sommerfeld), em que se trata os electrões como partículas quânticas livres com estatística de Fermi, ignorando interacções e potencial periodico.

Passo 4

(c) A partir do princípio de ocupação no espaço de \vec{k}, a densidade n (com spin degenerescência 2) é
n = \frac{2}{(2\pi)^3}\,\frac{4\pi}{3}\,k_F^3 = \frac{k_F^3}{3\pi^2}.
Daí
k_F = (3\pi^2\,n)^{1/3},
e o momento de Fermi é \hbar k_F.

Passo 5

(d) Substituindo k_F na dispersão, a energia de Fermi é
\epsilon_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m}\,(3\pi^2 n)^{2/3}.

Passo 6

(e) A densidade de estados por volume é
g(\epsilon) = \frac{1}{V}\,\frac{dN}{d\epsilon} = \frac{1}{2\pi^2}\Bigl(\frac{2m}{\hbar^2}\Bigr)^{3/2}\sqrt{\epsilon}.
No nível de Fermi
g(\epsilon_F) = \frac{1}{2\pi^2}\Bigl(\frac{2m}{\hbar^2}\Bigr)^{3/2}\sqrt{\epsilon_F} = \frac{m\,k_F}{\pi^2\hbar^2} = \frac{m}{\pi^2\hbar^2}\,(3\pi^2 n)^{1/3}.

Passo 7

(f) A baixas temperaturas o calor específico dos electrões varia como
C_V = \gamma\,T,
com
\gamma = \frac{\pi^2}{3}k_B^2\,g(\epsilon_F)\,V.
Medindo o coeficiente \gamma obtém-se g(\epsilon_F) e, usando o resultado de (e), infere-se m. Essa massa determinada experimentalmente é a massa efectiva m^*.

Resposta

(a) m é a massa efectiva m^*, não necessariamente o m_e livre, pois incorpora efeitos de banda.
(b) Modelo do gás de electrões livres (Sommerfeld).
(c) \hbar k_F com k_F = (3\pi^2 n)^{1/3}.
(d) \displaystyle \epsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m}\,(3\pi^2 n)^{2/3}.
(e) \displaystyle g(\epsilon_F)=\frac{m}{\pi^2\hbar^2}\,(3\pi^2 n)^{1/3}.
(f) Pelo coeficiente linear \gamma do calor específico C_V=\gamma T, que é proporcional a g(\epsilon_F), determina-se a massa efectiva m^*.

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