Considere um micro-organismo que segue a cinética de Monod, sendo \mu_{\mathrm{m}}=1,0 \mathrm{~h}^{-1}, \mathrm{k}_{\mathrm{s}}= 0,25 \mathrm{~g} / \mathrm{dm}^{3} e \mathrm{Y}_{\mathrm{X} / \mathrm{S}}=0,5 \mathrm{~g} / \mathrm{g}. A reação ocorre em um reator continuo, perfeitamente agitado com concentração de substrato na alimentação de 20 \mathrm{~g} / \mathrm{dm}^{3}. Calcule a velocidade de diluição para uma concentração de células na saída de 9,5 \mathrm{~g} / \mathrm{dm}^{3}.

Passo 1

O enunciado descreve um reator contínuo, perfeitamente agitado (chemostato) onde vive um micro-organismo que segue a cinética de Monod. Os dados são:
\mu_{\mathrm{m}}=1,0\\ \mathrm{h}^{-1}, \;K_{s}=0,25\\ \mathrm{g/dm}^{3}, \;Y_{X/S}=0,5\\ \mathrm{g/g}, concentração de substrato na alimentação S_{f}=20\\ \mathrm{g/dm}^{3} e concentração de células na saída X=9,5\\ \mathrm{g/dm}^{3}.
Queremos encontrar a velocidade de diluição D que mantém esse valor de X em regime permanente.

Passo 2

Em regime permanente de um chemostato temos para as células
\mu = D
e para o substrato
D\bigl(S_{f}-S\bigr)=\frac{1}{Y_{X/S}}\;\mu\,X\,.
Aqui \mu é a taxa específica de crescimento e S a concentração de substrato no reator.

Passo 3

Como \mu=D (e D\neq0), podemos dividir a segunda equação por D e obter
S_{f}-S=\frac{X}{Y_{X/S}} \quad\Longrightarrow\quad S=S_{f}-\frac{X}{Y_{X/S}}\,.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos em
S=20-\frac{9{,}5}{0{,}5}
temos
S=20-19=1\\ \mathrm{g/dm}^{3}\,.

Passo 5

Agora usamos a cinética de Monod para calcular \mu:
\mu=\mu_{\mathrm{m}}\;\frac{S}{K_{s}+S} =1{,}0\;\frac{1}{0{,}25+1} =\frac{1}{1{,}25}=0{,}8\\ \mathrm{h}^{-1}\,.
Em regime permanente \mu=D, logo
D=0{,}8\\ \mathrm{h}^{-1}\,.

Resposta

A velocidade de diluição é D=0{,}8\\ \mathrm{h}^{-1}.

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