A bactéria X-II segue a forma simplificada da equação de Monod com \mu_{\max }=0,8 \mathrm{~h}^{-1}, \mathrm{k}_{\mathrm{s}} =4 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, \mathrm{Y}_{\mathrm{P} / \mathrm{X}}=0,2 \mathrm{~g} / \mathrm{g} e \mathrm{Y}_{\mathrm{S} / \mathrm{X}}=2,2 \mathrm{~g} / \mathrm{g}. O processo é realizado em um reator contínuo agitado CSTR com alimentação de 1000 \mathrm{~L} / \mathrm{h} e concentração de substrato de 10 \mathrm{~g} / \mathrm{L}.
a) Qual deve ser o tamanho do biorreator para se atingir um nível de 90 \% de conversão do substrato?
b) Qual a concentração celular na corrente de saída?

Passo 1

O enunciado descreve um CSTR operando em regime permanente com alimentação de vazão F=1000,L/h e concentração de substrato na alimentação S_{\text{in}}=10,g/L. Queremos 90\% de conversão, isto é, saída com S=1,g/L. A cinética de crescimento segue Monod simplificado
\mu = \mu_{\max}\,\frac{S}{K_s + S}
com \mu_{\max}=0,8,h ^{-1} e K_s=4,g/L. Os rendimentos são \,Y_{S/X}=2,2,g S/g X e Y_{P/X}=0,2,g P/g X (este último não entra no balanço do substrato).

Passo 2

Como o reator está em regime permanente e descontínuo, a vazão específica (ou taxa de diluição) é
D = \frac{F}{V}
e, em regime estacionário, para cultura sem morte celular, vale
D = \mu \,.
Para atingir 90\% de conversão, a concentração de saída deve ser
S = S_{\text{in}}\,(1 - 0{,}90) = 10\,\bigl(0{,}10\bigr) = 1\text{ g/L.}

Passo 3

Calculamos a taxa de crescimento \mu no ponto de operação S=1,g/L:
\mu = 0{,}8\,\frac{1}{4 + 1} = 0{,}8 \times \frac{1}{5} = 0{,}16\text{ h}^{-1}.
Logo D = \mu = 0{,}16,h ^{-1}.

Passo 4

O volume do reator que atende D=F/V é
V = \frac{F}{D} = \frac{1000\text{ L/h}}{0{,}16\text{ h}^{-1}} = 6250\text{ L.}

Passo 5

Agora obtemos a concentração de células na saída usando o balanço de substrato:
D\,(S_{\text{in}} - S) = r_S \quad\text{com}\quad r_S = \frac{\mu\,X}{Y_{X/S}}
e Y_{X/S}=1/Y_{S/X}=1/2{,}2. Então
X = \frac{D\,(S_{\text{in}} - S)\,Y_{X/S}}{\mu} = \frac{0{,}16 \times (10 - 1)\times\frac{1}{2{,}2}}{0{,}16} = \frac{9}{2{,}2} \approx 4{,}09\text{ g/L.}

Resposta

O volume do biorreator deve ser de 6250,L e a concentração celular na corrente de saída será aproximadamente 4{,}09,g/L.

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