Considere uma mistura gasosa ternária
, isotérmica e isobárica, em regime estacionário, com difusão unidimensional ao longo do eixo z. Sabendo-se que o gradiente de
é nulo. Discuta se é possível existir fluxo de
, relacionando como o movimento de
e
podem induzir o movimento de
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pergunta (de forma bem clara):
- Mistura ternária contendo as espécies
, , . - Processo isotérmico e isobárico, regime estacionário, difusão unidimensional ao longo do eixo
. - É informado que o gradiente de fração molar de
é nulo: . - Pergunta: é possível existir fluxo de
? Como o movimento de e pode induzir movimento de ?
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda):
- Definições de variável que usarei:
fração molar de i, velocidade molar da espécie (no referencial de espaço fixo), concentração molar total, fluxo molar de . - Em mistura ternária as interações binárias entre pares
, , importam; aparece o coeficiente de difusão binário . - Não foi dado que o fluxo total seja zero nem qual referencial usar; vou expor o raciocínio em referencial cartesiano fixo e também no referencial de velocidade média molar, quando for útil.
Passo 2
Primeiro: pensar na intuição física e na definição de fluxo.
- Ter
significa que a concentração relativa de é uniforme ao longo de . Isso NÃO é a mesma coisa que afirmar que a velocidade ou o fluxo de é zero. Fluxo é movimento de matéria; a ausência de gradiente de composição é apenas uma força motriz (um dos possíveis) para difusão, não a única possível quando há mais de duas espécies. - Em sistemas multicomponentes há acoplamento entre espécies: o movimento de
e exerce “arrasto” sobre (pense em colisões e fricção entre moléculas). Para descrever isso rigorosamente usa-se a formulação de Maxwell–Stefan (ou as equações de Stefan–Maxwell).
Vou agora apresentar a equação de Stefan–Maxwell no caso ideal (isotérmico, isobárico) e usá-la para responder se
pode apresentar fluxo.
Passo 3
Apresentando a equação de Stefan–Maxwell (forma útil para mistura ideal, 1D):
Para cada espécie vale, em uma dimensão,
Para cada espécie
onde:
-
é o gradiente espacial (aqui ), então . -
é a velocidade molar da espécie no referencial espacial fixo. -
é o coeficiente de difusão binário entre e .
Essa forma vem de igualar o gradiente de potencial químico (para gás ideal) à soma das forças de fricção entre i e os outros componentes; não preciso derivar toda a teoria aqui, mas é a equação padrão de acoplamento em difusão multicomponente.
Agora escrevo a equação para
. Como dado
temos
. Portanto, da Stefan–Maxwell para
obtemos:
Passo 4
Resolver a equação para
e interpretar:
A equação do passo anterior pode ser rearranjada isolando . Faço isso passo a passo.
A equação do passo anterior pode ser rearranjada isolando
Coloco os termos que contêm
do mesmo lado:
Agrupando os termos em
:
Daí
Observações sobre essa fórmula:
- É uma média ponderada das velocidades
e , com pesos que dependem das frações molares e dos inversos dos coeficientes de difusão . - Se
ou for diferente de zero, em geral será diferente de zero — isto é, mesmo com a velocidade (e portanto o fluxo) de pode ser não nula. - O fluxo molar de
é então
onde
é a concentração molar total (constante se isobárico e isotérmico para gás ideal com densidade constante por
ou conhecida).
Física por trás do resultado (intuição): o termo
é uma força motriz direta sobre
. Quando esse gradiente é zero, não há força “autônoma” de
para difundir. Ainda assim,
e
empurram/arrastam
via fricção inter-molecular; o equilíbrio de fricção entre os pares determina que
ajuste-se para que a soma das forças de fricção sobre
seja nula — isso levou à equação acima. Em outras palavras,
é arrastada por
e
até que as forças de atrito relativas se equilibrem.
Passo 5
Casos especiais e implicações experimentais (o que vale anotar na prova):
- Se
(todas as espécies têm a mesma velocidade), então : há um fluxo convectivo comum (transporte convectivo de mistura inteira) mesmo sem gradientes internos; não é “difusão relativa”, é deslocamento em massa. Nesse caso o gradiente de permanece zero enquanto toda mistura se move. - Se
e são não nulos e diferentes, será uma média definida acima; por exemplo, se se desloca para a direita e para a esquerda, o valor de depende das magnitudes, das frações molares e dos — pode ser positivo, negativo ou zero, conforme equilíbrio entre os termos. - Existe uma situação particular em que
: isso ocorre quando a combinação ponderada . Em termos físicos, as forças de arrasto de e sobre se cancelam. - Importante: a predição concreta exige
e e as velocidades (ou seus gradientes). A simples ausência de gradiente de não garante ausência de fluxo de .
Passo 6
Resposta prática para a prova — como escrever resumido e correto:
- Diga que se a formulação usada em aula é a de Stefan–Maxwell, derive a expressão para
a partir de e escreva a fórmula obtida (mostrada no Passo 4). - Explique em uma frase a intuição: o movimento de
e gera forças de fricção que arrastam ; se move até que a soma das forças de fricção sobre se anule. - Se o enunciado pedir fluxos numéricos, medir/fornecer
, , e permite calcular via a expressão dada e então .
Resposta
Sim: é possível. A equação de Stefan–Maxwell dá, com
,
portanto
pode ser não nulo —
é arrastada pelo movimento de
e
.