3: A prefeitura de Formigópolis precisa construir um bueiro na altura da Rua dos Besouros com o Córrego Abelha. Nesta seção o córrego tem uma área de 12 \mathrm{~km}^{2} e um tempo de concentração de 32 min . A cidade de Formigópolis não tem curva IDF, porém possui um posto pluviométrico em que foram observadas precipitações máximas diárias entre 2000 e 2020 (Tabela 1). Com base nestas informações determine:
a) Precipitação máxima diária com \operatorname{Tr} de 50 anos para o local considerando o método Log-Normal (1.0 Pontos)
b) Precipitação máxima diária com \operatorname{Tr} de 50 anos para o local considerando o método de Gumbel (2.0 Pontos)
c) Hietograma de Projeto para o dimensionamento do bueiro (escolha uma das precipitações encontradas nos itens a OU b) (2.0 Pontos)
Table 1: Tabela 1 - Dados de Precipitação diária em Formigópolis
\captionsetup{labelformat=empty}
Ano Prec (mm)
2000 61.4
2001 83.8
2002 100.7
2003 70.3
2004 71.2
2005 78.4
2006 96.7
2007 95.9
2008 100.0
2009 68.0
2010 43.7
2011 63.5
2012 77.0
2013 99.0
2014 82.0
2015 47.4
2016 70.5
2017 50.5
2018 75.9
2019 118.5
2020 154.9

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) estimar a precipitação máxima diária com período de retorno \operatorname{Tr}=50 anos usando o método Log-Normal; (b) estimar a mesma precipitação usando o método de Gumbel; (c) apresentar um hietograma de projeto (escolher uma das precipitações obtidas em (a) ou (b)) para dimensionar o bueiro.
Informações fornecidas (peguei estes números da Tabela 1 do enunciado):
  • Área da bacia: 12\\ \mathrm{km}^2.
  • Tempo de concentração: T_c=32\\ \text{min}.
  • Série de máximas anuais de precipitação diária (mm), anos 2000–2020 (21 anos): \begin{array}{l} 61,4;\\\ 83,8;\\\ 100,7;\\\ 70,3;\\\ 71,2;\\\ 78,4;\\\ 96,7;\\\ 95,9;\\\ 100,0;\\\\ 68,0;\\\ 43,7;\\\ 63,5;\\\ 77,0;\\\ 99,0;\\\ 82,0;\\\ 47,4;\\\ 70,5;\\\ 50,5;\\\ 75,9;\\\\ 118,5;\\\ 154,9 \end{array}
O que eu vou entregar ao final:
  • (a) valor numérico da precipitação diária para \operatorname{Tr}=50 pelo método Log-Normal;
  • (b) valor numérico pelo método de Gumbel;
  • (c) um hietograma sintético de projeto baseado numa das precipitações (escolhi a do método de Gumbel, explico por quê e mostro o passo a passo para construir o hietograma).

Passo 2

Preparação para análise Log-Normal (ideia e fórmulas).
  • O método Log-Normal assume que a variável precipitação P tem distribuição log-normal, ou seja \ln P é aproximadamente normal.
  • Calculo as estatísticas da série de \ln P: média amostral \overline{\ln P} e desvio-padrão amostral s_{\ln P}.
  • Para um período de retorno \operatorname{Tr} definimos a probabilidade de não ultrapassagem F=1-\dfrac{1}{\operatorname{Tr}}. Para \operatorname{Tr}=50 temos F=1-\frac{1}{50}=0,98.
  • Denote z_F o quantil da Normal padrão tal que \Phi(z_F)=F. Para F=0,98 vale aproximadamente z_F\approx 2{,}05375.
  • A quantil da log-normal para F é \ln P_F = \overline{\ln P} + s_{\ln P}\, z_F, \qquad P_F = \exp\!\big(\overline{\ln P} + s_{\ln P}\, z_F\big).

Passo 3

Cálculo numérico das estatísticas de \ln P (detalhado, passo a passo).
  • Primeiro calculei \ln natural de cada precipitação (peguei os valores da Tabela 1). A soma das \ln P deu aproximadamente 91{,}4543.
  • A média amostral de \ln P é \overline{\ln P}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln P_i=\frac{91{,}4543}{21}\approx 4{,}35449.
  • O somatório dos quadrados dos desvios \sum(\ln P_i-\overline{\ln P})^2 deu aproximadamente 1{,}84602. Como temos n=21, o desvio-padrão amostral é s_{\ln P}=\sqrt{\frac{\sum(\ln P_i-\overline{\ln P})^2}{n-1}} =\sqrt{\frac{1{,}84602}{20}}\approx 0{,}30382.

Passo 4

Aplicação da fórmula Log-Normal para \operatorname{Tr}=50.
  • Usando z_F\approx 2{,}05375, \ln P_{50}=\overline{\ln P}+s_{\ln P}\,z_F =4{,}35449 + 0{,}30382\cdot 2{,}05375 \approx 4{,}97834.
  • Portanto P_{50}^{\text{(Log-Normal)}}=\exp(4{,}97834)\approx 145{,}3\\ \text{mm}.
Observação didática curta: a ideia é que fazemos a análise na escala logaritmica porque a precipitação costuma ter distribuição assimétrica; transformando com \ln usamos propriedades da Normal para estimar quantis de retorno.

Passo 5

Preparação para análise de Gumbel (ideia e fórmulas).
  • A distribuição de Gumbel (valor extremo tipo I) tem função de distribuição F(x)=\exp\big(-\exp\big(-\tfrac{x-a}{b}\big)\big),onde a é o parâmetro de localização e b>0 o parâmetro de escala.
  • Para ajustar pela via dos momentos: se \mu e \sigma são a média e o desvio-padrão amostral da série (na escala original, aqui precipitação diária), então b=\frac{\sigma}{\pi/\sqrt{6}}=\sigma\cdot\frac{\sqrt{6}}{\pi}, \qquad a=\mu-\gamma\,b,onde \gamma\approx 0{,}57721566 é a constante de Euler.
  • O quantil para probabilidade F é x_F = a - b\ln\big(-\ln F\big).
  • Para \operatorname{Tr}=50 usamos F=0{,}98.

Passo 6

Cálculo das estatísticas na escala linear (precipitação diária) e estimação de a e b.
  • Calculei a média amostral da precipitação diária: \overline{P}=\frac{1}{21}\sum P_i=\frac{1709{,}3}{21}\approx 81{,}395\\ \text{mm}.
  • Calculei o desvio-padrão amostral: s_P\approx 25{,}588\\ \text{mm}.
  • O coeficiente \frac{\sqrt{6}}{\pi}\approx 0{,}779697. Assim b=s_P\cdot\frac{\sqrt{6}}{\pi}\approx 25{,}588\cdot 0{,}779697\approx 19{,}95\\ \text{mm}.
  • E a=\overline{P}-\gamma b \approx 81{,}395 - 0{,}577216\cdot 19{,}95 \approx 69{,}878\\ \text{mm}.

Passo 7

Cálculo do quantil Gumbel para \operatorname{Tr}=50.
  • Com F=0{,}98 temos -\ln F=-\ln(0{,}98)\approx 0{,}0202027 e \ln(-\ln F)\approx \ln(0{,}0202027)\approx -3{,}9015.
  • Portanto x_{50}=a - b\ln(-\ln F) =69{,}878 - 19{,}95\cdot(-3{,}9015) \approx 69{,}878 + 77{,}83 \approx 147{,}7\\ \text{mm}.
Comentário didático: é comum que Log-Normal e Gumbel deem valores parecidos; aqui obtivemos 145{,}3\\ \text{mm} e 147{,}7\\ \text{mm}, próximos entre si — bom sinal de consistência.

Passo 8

Escolha para o hietograma de projeto e estratégia de construção do hietograma.
  • Vou escolher a precipitação estimada pelo método de Gumbel P_{50}=147{,}7\\ \text{mm} para o hietograma de projeto (poderia escolher a do Log-Normal; os resultados são próximos; escolhi Gumbel por ser frequentemente usado para extremos).
  • Precisamos transformar essa profundidade diária em um hietograma adequado para dimensionar o bueiro. Para bacias pequenas (aqui 12\\ \mathrm{km}^2) o tempo de concentração é curto ( T_c=32\\ \text{min}) e a intensidade que provoca o pico de escoamento está associada a uma duração comparável a T_c.
  • Como não há curva IDF disponível, adoto uma hipótese conservadora e simples, frequentemente usada em projeto quando não há padrão temporal local: representar a chuva como um hietograma triangular simétrico, com duração total igual a 2T_c e pico no tempo T_c. Esse hietograma concentra a chuva em curtíssimo prazo (hipótese conservadora para dimensionamento de bueiros urbanos).
  • Para um triângulo simétrico de base 2T_c e altura (intensidade de pico) i_p em mm/min, a profundidade total H relaciona-se por H=\tfrac{1}{2}\cdot(\text{base})\cdot i_p = \tfrac{1}{2}\cdot(2T_c)\cdot i_p = T_c\cdot i_p.Assim i_p=\frac{H}{T_c}.

Passo 9

Cálculo do hietograma triangular (numérico, blocos e conversões).
  • Dados: H=P_{50}^{\text{(Gumbel)}}=147{,}7\\ \text{mm} e T_c=32\\ \text{min}.
  • Pico em mm/min:
    i_p=\frac{147{,}7}{32}\approx 4{,}6156\\ \text{mm/min}.
    Em mm/h isso vale
    i_p\cdot 60 \approx 4{,}6156\cdot 60 \approx 276{,}94\\ \text{mm/h}.
  • A base do triângulo tem duração 2T_c=64\\ \text{min}. Para desenhar um hietograma prático, dividi a base em oito blocos de 8\\ \text{min} (blocos fáceis de usar em cálculo do volume de chuva e no método racional).
  • Para um triângulo simétrico, a intensidade ao longo do tempo aumenta linearmente de 0 até i_p em 32\\ \text{min} e depois decresce simetricamente. Calculei os valores médios de intensidade em cada bloco e a precipitação em cada bloco (profundidade em mm = intensidade média \times duração do bloco).
  • Cálculos rápidos (em mm/min, mm por bloco de 8 min e mm/h):
    • Pontos de intensidade (mm/min) nos instantes 0,8,16,24,32,40,48,56,64 min: 0;\\\ 1{,}1539;\\\ 2{,}3078;\\\ 3{,}4617;\\\ 4{,}6156;\\\ 3{,}4617;\\\ 2{,}3078;\\\ 1{,}1539;\\\ 0.
    • Intensidade média em cada bloco (mm/min) = média entre valores nos extremos do bloco. Convertendo para mm por bloco (8 min) e mm/h:
      Bloco 0–8 min:
      \int média =0{,}57695\\ \text{mm/min}\Rightarrow profundidade =0{,}57695\cdot 8=4{,}6156\\ \text{mm};
      intensidade média =0{,}57695\cdot 60=34{,}62\\ \text{mm/h}.
      Bloco 8–16 min:
      \int média =1{,}73085\\ \text{mm/min}\Rightarrow profundidade =13{,}8468\\ \text{mm};
      intensidade =103{,}85\\ \text{mm/h}.
      Bloco 16–24 min:
      \int média =2{,}88475\\ \text{mm/min}\Rightarrow profundidade =23{,}078\\ \text{mm};
      intensidade =173{,}09\\ \text{mm/h}.
      Bloco 24–32 min:
      \int média =4{,}03865\\ \text{mm/min}\Rightarrow profundidade =32{,}309\\ \text{mm};
      intensidade =242{,}32\\ \text{mm/h}.
      Bloco 32–40 min: simétrico ao 24–32 min:
      profundidade =32{,}309\\ \text{mm}; intensidade =242{,}32\\ \text{mm/h}.
      Bloco 40–48 min:
      profundidade =23{,}078\\ \text{mm}; intensidade =173{,}09\\ \text{mm/h}.
      Bloco 48–56 min:
      profundidade =13{,}8468\\ \text{mm}; intensidade =103{,}85\\ \text{mm/h}.
      Bloco 56–64 min:
      profundidade =4{,}6156\\ \text{mm}; intensidade =34{,}62\\ \text{mm/h}.
  • Soma das profundidades dos 8 blocos: 147{,}7\\ \text{mm} (confere com H).
Observação didática e prática: este hietograma é conservador (concentra toda a chuva diária em apenas 64\\ \text{min}). Se o projetista dispuser de um padrão temporal local (IDF ou hietograma sazonal), deve-se usar esse padrão; sem ele, esta hipótese garante segurança no dimensionamento do bueiro pequeno.

Resposta

(a) P_{50}^{\text{(Log-Normal)}} \approx 145{,}3\\ \text{mm}
(b) P_{50}^{\text{(Gumbel)}} \approx 147{,}7\\ \text{mm}
(c) Hietograma de projeto (escolhido: P_{50}^{\text{(Gumbel)}}=147{,}7\\ \text{mm}). Hietograma triangular simétrico com base 2T_c=64\\ \text{min}, dividido em oito blocos de 8\\ \text{min}:
0–8 min: intensidade média 34{,}62\\ \text{mm/h}, precipitação 4{,}6156\\ \text{mm}
8–16 min: intensidade média 103{,}85\\ \text{mm/h}, precipitação 13{,}8468\\ \text{mm}
16–24 min: intensidade média 173{,}09\\ \text{mm/h}, precipitação 23{,}078\\ \text{mm}
24–32 min: intensidade média 242{,}32\\ \text{mm/h}, precipitação 32{,}309\\ \text{mm}
32–40 min: intensidade média 242{,}32\\ \text{mm/h}, precipitação 32{,}309\\ \text{mm}
40–48 min: intensidade média 173{,}09\\ \text{mm/h}, precipitação 23{,}078\\ \text{mm}
48–56 min: intensidade média 103{,}85\\ \text{mm/h}, precipitação 13{,}8468\\ \text{mm}
56–64 min: intensidade média 34{,}62\\ \text{mm/h}, precipitação 4{,}6156\\ \text{mm}
Total: 147{,}7\\ \text{mm} (confere).

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