Considere o modelo de Bohr para um íon monoeletrônico com número atômico
. Nesse caso, um elétron de massa
e carga - e se move numa órbita circular de raio
em torno de um núcleo fixo de carga
. Em termos dos dados do problema e das constantes fundamentais:
a) Deduza a expressão para o raio da órbita
num estado caracterizado pelo número quântico
.
b) Determine a energia do íon num estado caracterizado pelo número quântico
.
c) Qual a expressão do comprimento de onda do fóton emitido quando este átomo realiza uma transição do segundo estado excitado para o estado fundamental?
a) Deduza a expressão para o raio da órbita
b) Determine a energia do íon num estado caracterizado pelo número quântico
c) Qual a expressão do comprimento de onda do fóton emitido quando este átomo realiza uma transição do segundo estado excitado para o estado fundamental?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Informações dadas:
- Íon monoeletrônico com número atômico
. - Um elétron de massa
e carga descreve órbita circular de raio ao redor de um núcleo fixo de carga . - Há o número quântico inteiro
que caracteriza o estado.
Perguntas do enunciado:
- (a) Deduza a expressão do raio da órbita
para o estado com número quântico . - (b) Determine a energia do íon no estado com número quântico
. - (c) Ache o comprimento de onda do fóton emitido na transição do segundo estado excitado para o estado fundamental.
(Observação: vou assumir a convenção usual de que o estado fundamental é
, o primeiro excitado é
e o segundo excitado é
.)
Passo 2
Força centrípeta e força elétrica: explicar e escrever as equações básicas.
A atração elétrica entre núcleo e elétron é dada pela lei de Coulomb. Essa força fornece a força centrípeta que mantém o elétron na órbita circular. Escrevemos a igualdade entre a força eletrostática e a força centrípeta:
Aqui:
-
é a permissividade do vácuo, -
é a carga elementar (módulo), -
é o número atômico, -
é o raio da órbita, -
é a massa do elétron, -
é a velocidade do elétron na órbita.
Essa equação é apenas a expressão concreta de “força elétrica = massa × velocidade^2 / raio”.
Passo 3
Quantização do momento angular: explicar e escrever.
No modelo de Bohr impõe-se a condição quantizada para o momento angular do elétron:
onde:
-
é o número quântico inteiro positivo ( ), -
é a constante de Planck reduzida ( ).
Esta condição significa que somente certas órbitas com momento angular múltiplo inteiro de
são permitidas.
Passo 4
Usar as duas equações anteriores para eliminar
e achar
.
Da quantização temos
. Substituindo essa expressão de
na equação da força centrípeta:
Simplifico o lado direito:
Multiplicando ambos os lados por
e resolvendo para
:
e portanto
Passo 5
Interpretar a expressão encontrada e definir o raio de Bohr.
A constante que aparece é o raio de Bohr
, definido por
Assim a expressão do raio da órbita no estado
fica elegante:
Explicação:
é o raio da órbita fundamental do átomo de hidrogênio (
). Para íons com carga nuclear maior (
) as órbitas encolhem por um fator
; e o fator
mostra que raios crescem com o quadrado do número quântico.
Passo 6
Energia total: escrever expressão para energia cinética e potencial e relacioná-las.
Energia cinética do elétron é
Energia potencial elétrica entre carga
e
é (potencial Coulombiano, negativo porque é atrativo)
No regime circular e usando a igualdade da força centrípeta obtida em Passo 2, lembramos que
Logo a energia cinética pode ser escrita como
A energia total é soma
. Substituindo:
Passo 7
Substituir
na expressão da energia para obter
em função de
e constantes.
Usando
na expressão
obtemos
Fazendo as simplificações (cancelando fatores
e manipulando) chega-se à forma
Explicação das constantes nessa expressão:
-
é a massa do elétron, -
é a carga elementar, -
é a permissividade do vácuo, -
é a constante de Planck, -
é o número atômico, -
é o número quântico.
Observação prática: para
e
essa expressão dá aproximadamente
, o valor conhecido da energia do estado fundamental do hidrogênio.
Passo 8
Energia do fóton e comprimento de onda na transição do segundo excitado para o fundamental.
Como observei no Passo 1, o segundo estado excitado corresponde a
e o estado fundamental a
. A energia do fóton emitido é a diferença de energias:
Note que
e
são negativos; escrito de forma positiva para o fóton:
Calcule o fator numérico dentro dos parênteses:
Portanto
O comprimento de onda
do fóton relaciona-se com a energia por
, logo
Simplificando obtemos a forma final
Uma forma alternativa, usando a constante de Rydberg
, é
ou seja