Considere o modelo de Bohr para um íon monoeletrônico com número atômico Z. Nesse caso, um elétron de massa m e carga - e se move numa órbita circular de raio r em torno de um núcleo fixo de carga +Z e. Em termos dos dados do problema e das constantes fundamentais:
a) Deduza a expressão para o raio da órbita r num estado caracterizado pelo número quântico n.
b) Determine a energia do íon num estado caracterizado pelo número quântico n.
c) Qual a expressão do comprimento de onda do fóton emitido quando este átomo realiza uma transição do segundo estado excitado para o estado fundamental?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Informações dadas:
  • Íon monoeletrônico com número atômico Z.
  • Um elétron de massa m e carga -e descreve órbita circular de raio r ao redor de um núcleo fixo de carga +Z e.
  • Há o número quântico inteiro n que caracteriza o estado.
Perguntas do enunciado:
  1. (a) Deduza a expressão do raio da órbita r para o estado com número quântico n.
  2. (b) Determine a energia do íon no estado com número quântico n.
  3. (c) Ache o comprimento de onda do fóton emitido na transição do segundo estado excitado para o estado fundamental.
(Observação: vou assumir a convenção usual de que o estado fundamental é n=1, o primeiro excitado é n=2 e o segundo excitado é n=3.)

Passo 2

Força centrípeta e força elétrica: explicar e escrever as equações básicas.
A atração elétrica entre núcleo e elétron é dada pela lei de Coulomb. Essa força fornece a força centrípeta que mantém o elétron na órbita circular. Escrevemos a igualdade entre a força eletrostática e a força centrípeta:
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z e^2}{r^2}=\frac{m v^2}{r}.
Aqui:
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo,
  • e é a carga elementar (módulo),
  • Z é o número atômico,
  • r é o raio da órbita,
  • m é a massa do elétron,
  • v é a velocidade do elétron na órbita.
Essa equação é apenas a expressão concreta de “força elétrica = massa × velocidade^2 / raio”.

Passo 3

Quantização do momento angular: explicar e escrever.
No modelo de Bohr impõe-se a condição quantizada para o momento angular do elétron:
m v r = n \hbar,
onde:
  • n é o número quântico inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots),
  • \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar=\dfrac{h}{2\pi}).
Esta condição significa que somente certas órbitas com momento angular múltiplo inteiro de \hbar são permitidas.

Passo 4

Usar as duas equações anteriores para eliminar v e achar r.
Da quantização temos v=\dfrac{n\hbar}{m r}. Substituindo essa expressão de v na equação da força centrípeta:
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z e^2}{r^2}=\frac{m}{r}\left(\frac{n\hbar}{m r}\right)^2.
Simplifico o lado direito:
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z e^2}{r^2}=\frac{n^2\hbar^2}{m r^3}.
Multiplicando ambos os lados por r^3 e resolvendo para r:
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,Z e^2 r = \frac{n^2\hbar^2}{m}
e portanto
r=\frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m e^2}\,\frac{n^2}{Z}.

Passo 5

Interpretar a expressão encontrada e definir o raio de Bohr.
A constante que aparece é o raio de Bohr a_0, definido por
a_0=\frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m e^2}.
Assim a expressão do raio da órbita no estado n fica elegante:
r_n=a_0\,\frac{n^2}{Z}.
Explicação: a_0 é o raio da órbita fundamental do átomo de hidrogênio ( Z=1, n=1). Para íons com carga nuclear maior ( Z>1) as órbitas encolhem por um fator 1/Z; e o fator n^2 mostra que raios crescem com o quadrado do número quântico.

Passo 6

Energia total: escrever expressão para energia cinética e potencial e relacioná-las.
Energia cinética do elétron é
K=\tfrac{1}{2}m v^2.
Energia potencial elétrica entre carga -e e +Ze é (potencial Coulombiano, negativo porque é atrativo)
U=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z e^2}{r}.
No regime circular e usando a igualdade da força centrípeta obtida em Passo 2, lembramos que
m v^2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z e^2}{r}.
Logo a energia cinética pode ser escrita como
K=\frac{1}{2}m v^2=\frac{1}{2}\,\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z e^2}{r}.
A energia total é soma E=K+U. Substituindo:
E=\frac{1}{2}\,\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z e^2}{r}-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z e^2}{r}=-\frac{1}{2}\,\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z e^2}{r}.

Passo 7

Substituir r_n na expressão da energia para obter E_n em função de n e constantes.
Usando r_n=\dfrac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m e^2}\dfrac{n^2}{Z} na expressão
E_n=-\frac{1}{2}\,\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z e^2}{r_n},
obtemos
E_n=-\frac{1}{2}\,\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z e^2}{\dfrac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m e^2}\dfrac{n^2}{Z}}.
Fazendo as simplificações (cancelando fatores 4\pi\epsilon_0 e manipulando) chega-se à forma
E_n=-\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\,\frac{Z^2}{n^2}.
Explicação das constantes nessa expressão:
  • m é a massa do elétron,
  • e é a carga elementar,
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo,
  • h é a constante de Planck,
  • Z é o número atômico,
  • n é o número quântico.
Observação prática: para Z=1 e n=1 essa expressão dá aproximadamente -13{,}6\\ \mathrm{eV}, o valor conhecido da energia do estado fundamental do hidrogênio.

Passo 8

Energia do fóton e comprimento de onda na transição do segundo excitado para o fundamental.
Como observei no Passo 1, o segundo estado excitado corresponde a n_i=3 e o estado fundamental a n_f=1. A energia do fóton emitido é a diferença de energias:
\Delta E = E_{3}-E_{1} = -\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\,Z^2\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{1^2}\right).
Note que E_3 e E_1 são negativos; escrito de forma positiva para o fóton:
E_{\text{fóton}} = E_1 - E_3 = \frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\,Z^2\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}\right).ó
Calcule o fator numérico dentro dos parênteses:
\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.
Portanto
E_{\text{fóton}}=\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\,Z^2\cdot\frac{8}{9}=\frac{m e^4}{9\epsilon_0^2 h^2}\,Z^2.ó
O comprimento de onda \lambda do fóton relaciona-se com a energia por E_{\text{fóton}}=h c/\lambdaó, logo
\lambda=\frac{h c}{E_{\text{fóton}}}=\frac{h c}{\dfrac{m e^4}{9\epsilon_0^2 h^2}\,Z^2}.ó
Simplificando obtemos a forma final
\lambda=\frac{9\epsilon_0^2 h^3 c}{m e^4}\,\frac{1}{Z^2}.
Uma forma alternativa, usando a constante de Rydberg R_\infty=\dfrac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^3 c}, é
\frac{1}{\lambda}=R_\infty Z^2\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}\right)=R_\infty Z^2\cdot\frac{8}{9},
ou seja
\lambda=\frac{9}{8}\,\frac{1}{R_\infty Z^2}.

Resposta

r_n = a_0\,\dfrac{n^2}{Z}, onde a_0=\dfrac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m e^2}.\n
E_n = -\dfrac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\,\dfrac{Z^2}{n^2}.\n
\lambda=\dfrac{9\epsilon_0^2 h^3 c}{m e^4}\,\dfrac{1}{Z^2} \quad (equivalente a \lambda=\dfrac{9}{8}\dfrac{1}{R_\infty Z^2}, para n=3\to n=1).

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