A força de um elástico esticado é dada aproximadamente pela lei de Hooke ( F_{x}= -k x ), onde k é a constante elástica. Suponha que um elástico \operatorname{com} k=50 N / m, á temperatura T=27^{\circ} C, está com um alongamento de x=1,2 c m. Qual é a taxa de diminuição da entropia, \frac{d S}{d x}, para um pequeno alongamento adicional. Use a fórmula F=-T \frac{d S}{d x}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma quantidade específica.
  • Dado: a força elástica obedece à lei de Hooke F_x = -k x.
  • Dado: constante elástica \,k = 50\\ \mathrm{N/m}.
  • Dado: temperatura \,T = 27^\circ\mathrm{C}.
  • Dado: alongamento atual \,x = 1,2\\ \mathrm{cm}.
  • Fórmula a usar: F = -T\,\frac{dS}{dx}.
Pergunta do enunciado: calcular a taxa \displaystyle \frac{dS}{dx} (variação da entropia em função de x) para um pequeno alongamento adicional, usando a relação dada.

Passo 2

Vamos combinar as duas fórmulas dadas para obter uma expressão para \displaystyle \frac{dS}{dx}.
A lei de Hooke dá a força como
F = -k x.
A relação termodinâmica fornecida é
F = -T\,\frac{dS}{dx}.
Agora igualamos as duas expressões para F:
-k x = -T\,\frac{dS}{dx}.
Podemos simplificar cancelando o sinal menos em ambos os lados, obtendo
k x = T\,\frac{dS}{dx}.
Isolando \displaystyle \frac{dS}{dx} temos a fórmula geral que usaremos:
\frac{dS}{dx}=\frac{kx}{T}.
Explicação didática rápida: aqui \,S é entropia (unidade \mathrm{J/K}), \,x é deslocamento/alongamento (unidade \mathrm{m}), \,k é constante elástica ( \mathrm{N/m}), e \,T é temperatura absoluta (unidade \mathrm{K}). A razão \displaystyle \frac{dS}{dx} tem unidade \mathrm{J/(K\cdot m)}. A fórmula significa que a variação de entropia por metro de alongamento é proporcional à força elástica dividida pela temperatura.

Passo 3

Antes de calcular, vamos colocar todos os valores nas unidades SI consistentes (importante em termodinâmica):
  • Converter o alongamento de \mathrm{cm} para \mathrm{m}:
x = 1,2\\ \mathrm{cm} = 0,012\\ \mathrm{m}.
  • Converter a temperatura de Celsius para Kelvin (sempre usar Kelvin em fórmulas termodinâmicas):
T = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273,15 = 300,15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Substituímos na fórmula \displaystyle \frac{dS}{dx}=\frac{kx}{T}:
Calcule primeiro o numerador:
k x = 50\\ \mathrm{N/m}\times 0,012\\ \mathrm{m} = 0,6\\ \mathrm{N}.
Como \mathrm{N} = \mathrm{J/m}, 0,6\\ \mathrm{N} = 0,6\\ \mathrm{J/m}. Agora dividimos por T:
\frac{dS}{dx}=\frac{0,6\\ \mathrm{J/m}}{300,15\\ \mathrm{K}}.
Fazendo a divisão:
\frac{dS}{dx}\approx 0,001999\\ \mathrm{J/(K\cdot m)}.
Arredondando de forma prática para duas casas significativas:
\frac{dS}{dx}\approx 2,00\times 10^{-3}\\ \mathrm{J/(K\cdot m)}.

Passo 5

Interpretação do sinal e comentário motivador: a expressão resultou positiva, isto é, \displaystyle \frac{dS}{dx}>0. Isso significa que um pequeno aumento de x (um alongamento adicional) está associado a um aumento da entropia do sistema-elástico — o enunciado chamou de “taxa de diminuição”, mas a equação dada mostra que a entropia aumenta com x nas condições apresentadas. Está bem — faça as conversões de unidades com calma e siga a álgebra que derivamos; você já tem a técnica para problemas semelhantes! Força, você tá indo bem.

Resposta

\displaystyle \frac{dS}{dx}\approx 2,00\times 10^{-3}\\ \mathrm{J/(K\cdot m)}

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