Num espalhamento Compton de um fóton por uma partícula livre em repouso, o fóton é espalhado de 180^{\circ}, perdendo metade de sua energia inicial. Considere a massa de repouso da partícula livre dada por m. Qual o comprimento de onda \lambda do fóton incidente e o momento da partícula após a colisão?
(a) \lambda=\frac{2 h}{m c} e p=\frac{3 m c}{4}
(b) \lambda=\frac{h}{m c} e p=\frac{4 m c}{3}
(c) \lambda=\frac{2 h}{m c} e p=\frac{4 m c}{5}
(d) \lambda=\frac{h}{m c} e p=\frac{3 m c}{5}
(e) \lambda=\frac{h}{m c} e p=\frac{3 m c}{4}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Um fóton incide sobre uma partícula livre de massa de repouso \,m que está inicialmente em repouso.
  • O fóton é espalhado em \,180^\circ (retroespalhamento).
  • O fóton espalhado perde metade da sua energia inicial, ou seja, \,E' = \tfrac{1}{2}E.
  • Perguntas: qual o comprimento de onda \,\lambda do fóton incidente e qual o momento \,p da partícula após a colisão?

Passo 2

Relacionando energia do fóton com comprimento de onda: a energia de um fóton de comprimento de onda \lambda é
E=\frac{h c}{\lambda}.
Para o fóton espalhado com comprimento de onda \lambda' temos
E'=\frac{h c}{\lambda'}.
Como nos foi dado \,E'=\tfrac{1}{2}E, substituímos e obtemos
\frac{h c}{\lambda'}=\frac{1}{2}\frac{h c}{\lambda}.
Cancelando h c dos dois lados segue
\frac{1}{\lambda'}=\frac{1}{2\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda'=2\lambda.

Passo 3

A mudança de comprimento de onda no espalhamento Compton é dada por
\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\frac{h}{m c}\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Aqui \theta=180^\circ então \cos\theta=-1 e
\Delta\lambda=\frac{h}{m c}\bigl(1-(-1)\bigr)=\frac{2h}{m c}.
Mas da relação do Passo 2 temos \lambda' - \lambda = \lambda (pois \lambda' = 2\lambda). Logo
\lambda=\Delta\lambda=\frac{2h}{m c}.
Pronto: o comprimento de onda do fóton incidente é \displaystyle \lambda=\frac{2h}{m c}.

Passo 4

Agora vamos achar o momento da partícula. Primeiro escrevemos a energia inicial do fóton em termos de m c^2: usando \lambda=\tfrac{2h}{m c},
E=\frac{h c}{\lambda}=\frac{h c}{2h/(m c)}=\frac{m c^2}{2}.
Como E'=\tfrac{1}{2}E, segue E'=\tfrac{m c^2}{4}. A energia transferida para a partícula (sua energia cinética T) é
T=E-E'=\frac{m c^2}{2}-\frac{m c^2}{4}=\frac{m c^2}{4}.
Pela definição relativística, a energia total da partícula após a colisão é \gamma m c^2 com
\gamma=1+\frac{T}{m c^2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.

Passo 5

Usamos a relação energia-momento relativística para a partícula:
(\gamma m c^2)^2=(p c)^2+(m c^2)^2.
Isolando p:
p c = m c^2\sqrt{\gamma^2-1}.
Substituindo \gamma=\tfrac{5}{4},
\gamma^2-1=\left(\frac{5}{4}\right)^2-1=\frac{25}{16}-1=\frac{9}{16},
portanto
p c = m c^2\sqrt{\frac{9}{16}}=m c^2\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}m c^2.
Dividindo por c obtemos o momento
p=\frac{3}{4}m c.

Resposta

\displaystyle \lambda=\frac{2h}{m c}
\displaystyle p=\frac{3m c}{4}

Exercícios relacionados