Duas fontes de ondas eletromagnéticas idênticas irradiam na frequência f_{0} quando em repouso. As fontes se movem uma em direção a outra, com velocidades iguais em módulo ( v ), em relação a um referencial inercial. Para um observador localizado em uma das fontes, qual é a frequencia da radiação emitida pela outra fonte?
(a) \frac{1+v / c}{1-v / c} f_{0}
(b) \sqrt{\frac{1-v / c}{1+v / c}} f_{0}
(c) (1-v / c) f_{0}
(d) \sqrt{\frac{1+v / c}{1-v / c}} f_{0}
(e) \frac{1-v / c}{1+v / c} f_{0}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Duas fontes idênticas emitem radiação eletromagnética com frequência de repouso \,f_{0}\,.
  • As fontes movem-se em direções opostas (uma em direção à outra) com velocidades iguais em módulo \,v\, medidas num mesmo referencial inercial.
  • Um observador está localizado na mesma posição de uma das fontes (ou seja, o observador está em repouso em relação a uma das fontes).
  • Pergunta: qual é a frequência da radiação emitida pela outra fonte, observada por esse observador?
Todas as informações relevantes acima vêm do enunciado. Não iniciamos a resolução aqui; apenas deixamos claro o que é dado e o que é pedido.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples): para saber a frequência que o observador vê, precisamos de (1) a velocidade relativa entre as duas fontes no referencial do observador e (2) a fórmula relativística do efeito Doppler para luz (radiação eletromagnética). Vou explicar as duas peças com calma.
Primeiro: velocidade relativa entre fontes. No referencial em que foi informado que as duas se movem com velocidades \pm v, a velocidade da fonte que vem em nossa direção, medida no referencial da outra fonte (onde está o observador), NÃO é simplesmente 2v — precisamos usar a regra relativística de adição de velocidades. Essa regra diz que, se num mesmo referencial uma partícula A tem velocidade u e uma partícula B tem velocidade w, então a velocidade de B no referencial de A é
u'=\frac{u+w}{1+\dfrac{uw}{c^{2}}}.
Aqui vamos aplicar essa fórmula com u=v e w=v.
Segundo: Doppler relativístico para luz. Para ondas eletromagnéticas a fórmula que relaciona a frequência emitida \,f_{\text{emit}}, (no referencial da fonte) e a frequência observada \,f_{\text{obs}}, (no referencial do observador), quando a fonte e o observador se aproximam ao longo da linha de visão com velocidade relativa u (sinal positivo para aproximação), é
f_{\text{obs}}=f_{\text{emit}}\sqrt{\frac{1+u/c}{1-u/c}}.
Aqui \,u é a velocidade relativa ao longo da linha, e c é a velocidade da luz. Essa fórmula vem da transformação de tempos e da invariância da fase da onda entre referenciais (uma dedução completa usa transformações de Lorentz), mas você pode pensar nela como a versão relativística do Doppler que incorpora dilatação do tempo e a invariância da velocidade da luz. Vou usar essa expressão diretamente (ela é padrão e essencial para essa classe de problemas).

Passo 3

Calcular a velocidade relativa u da outra fonte no referencial do observador (que está na sua própria fonte).
Aplicamos a adição relativística com v e v:
u=\frac{v+v}{1+\dfrac{v\cdot v}{c^{2}}}=\frac{2v}{1+\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}.
É importante entender: u é a velocidade com que a fonte B se aproxima do observador A, medida no referencial de A.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do Doppler relativístico para luz. Definimos
\beta \equiv \frac{u}{c}.
Com o u acima:
\beta=\frac{u}{c}=\frac{2v/c}{1+\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{2\left(\dfrac{v}{c}\right)}{1+\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}.
A fórmula do Doppler para aproximação dá
f_{\text{obs}}=f_{0}\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.
Substituímos \beta explicitamente:
\frac{1+\beta}{1-\beta} =\frac{1+\dfrac{2(v/c)}{1+(v/c)^{2}}}{1-\dfrac{2(v/c)}{1+(v/c)^{2}}}.
Vamos simplificar passo a passo. Colocando tudo sobre o mesmo denominador 1+(v/c)^{2}:
1+\beta=\frac{1+(v/c)^{2}+2(v/c)}{1+(v/c)^{2}}=\frac{\bigl(1+v/c\bigr)^{2}}{1+(v/c)^{2}},
1-\beta=\frac{1+(v/c)^{2}-2(v/c)}{1+(v/c)^{2}}=\frac{\bigl(1-v/c\bigr)^{2}}{1+(v/c)^{2}}.
Assim
\frac{1+\beta}{1-\beta} =\frac{\dfrac{(1+v/c)^{2}}{1+(v/c)^{2}}}{\dfrac{(1-v/c)^{2}}{1+(v/c)^{2}}} =\frac{(1+v/c)^{2}}{(1-v/c)^{2}}.
Tomando raiz quadrada:
\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=\sqrt{\frac{(1+v/c)^{2}}{(1-v/c)^{2}}}=\frac{1+v/c}{1-v/c}.
Portanto a frequência observada é
f_{\text{obs}}=f_{0}\,\frac{1+v/c}{1-v/c}.

Passo 5

Interpretação final: o observador que está numa das fontes vê a radiação da outra fonte com frequência aumentada (blue-shift) e a expressão final é
f_{\text{obs}}=f_{0}\,\frac{1+v/c}{1-v/c}.
Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) \dfrac{1+v / c}{1-v / c} f_{0}

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