Duas fontes de ondas eletromagnéticas idênticas irradiam na frequência
quando em repouso. As fontes se movem uma em direção a outra, com velocidades iguais em módulo (
), em relação a um referencial inercial. Para um observador localizado em uma das fontes, qual é a frequencia da radiação emitida pela outra fonte?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Duas fontes idênticas emitem radiação eletromagnética com frequência de repouso
. - As fontes movem-se em direções opostas (uma em direção à outra) com velocidades iguais em módulo
medidas num mesmo referencial inercial. - Um observador está localizado na mesma posição de uma das fontes (ou seja, o observador está em repouso em relação a uma das fontes).
- Pergunta: qual é a frequência da radiação emitida pela outra fonte, observada por esse observador?
Todas as informações relevantes acima vêm do enunciado. Não iniciamos a resolução aqui; apenas deixamos claro o que é dado e o que é pedido.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples): para saber a frequência que o observador vê, precisamos de (1) a velocidade relativa entre as duas fontes no referencial do observador e (2) a fórmula relativística do efeito Doppler para luz (radiação eletromagnética). Vou explicar as duas peças com calma.
Primeiro: velocidade relativa entre fontes. No referencial em que foi informado que as duas se movem com velocidades
, a velocidade da fonte que vem em nossa direção, medida no referencial da outra fonte (onde está o observador), NÃO é simplesmente
— precisamos usar a regra relativística de adição de velocidades. Essa regra diz que, se num mesmo referencial uma partícula A tem velocidade
e uma partícula B tem velocidade
, então a velocidade de B no referencial de A é
Aqui vamos aplicar essa fórmula com
e
.
Segundo: Doppler relativístico para luz. Para ondas eletromagnéticas a fórmula que relaciona a frequência emitida
, (no referencial da fonte) e a frequência observada
, (no referencial do observador), quando a fonte e o observador se aproximam ao longo da linha de visão com velocidade relativa
(sinal positivo para aproximação), é
Aqui
é a velocidade relativa ao longo da linha, e
é a velocidade da luz. Essa fórmula vem da transformação de tempos e da invariância da fase da onda entre referenciais (uma dedução completa usa transformações de Lorentz), mas você pode pensar nela como a versão relativística do Doppler que incorpora dilatação do tempo e a invariância da velocidade da luz. Vou usar essa expressão diretamente (ela é padrão e essencial para essa classe de problemas).
Passo 3
Calcular a velocidade relativa
da outra fonte no referencial do observador (que está na sua própria fonte).
Aplicamos a adição relativística com e
:
Aplicamos a adição relativística com
É importante entender:
é a velocidade com que a fonte B se aproxima do observador A, medida no referencial de A.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do Doppler relativístico para luz. Definimos
Com o
acima:
A fórmula do Doppler para aproximação dá
Substituímos
explicitamente:
Vamos simplificar passo a passo. Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Assim
Tomando raiz quadrada:
Portanto a frequência observada é
Passo 5
Interpretação final: o observador que está numa das fontes vê a radiação da outra fonte com frequência aumentada (blue-shift) e a expressão final é
Isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
(a)