Considere o modelo de Drude m_{e} \frac{d}{d t} \vec{v}_{\text {med }}= f_{\text {ext }}-\frac{m_{e}}{\tau} \vec{v}_{\text {med }}, no caso em que não há uma força externa atuando no “gás” de elétrons. Obtenha a velocidade média para esse caso e discuta o resultado.

Passo 1

O enunciado dá o modelo de Drude
m_{e}\,\frac{d}{dt}\,\vec v_{\rm med}=f_{\rm ext}-\frac{m_{e}}{\tau}\,\vec v_{\rm med}
e pede para o caso sem força externa ( f_{\rm ext}=0). O conteúdo é EDO de primeira ordem, coeficientes constantes, e vamos resolver a equação homogênea.

Passo 2

Com f_{\rm ext}=0 temos
m_{e}\,\frac{d}{dt}\,\vec v_{\rm med}=-\frac{m_{e}}{\tau}\,\vec v_{\rm med},
logo, dividindo por m_{e},
\frac{d}{dt}\,\vec v_{\rm med}+\frac{1}{\tau}\,\vec v_{\rm med}=0.

Passo 3

Resolvendo por separação de variáveis:
\frac{d\vec v_{\rm med}}{\vec v_{\rm med}} =-\frac{dt}{\tau}.
Integrando ambos os lados, obtemos
\ln\bigl|\vec v_{\rm med}\bigr|=-\frac{t}{\tau}+C.

Passo 4

Exponenciando e aplicando a condição inicial \vec v_{\rm med}(0):
\vec v_{\rm med}(t) =\exp\Bigl(-\tfrac{t}{\tau}+C\Bigr) =\vec v_{\rm med}(0)\,e^{-t/\tau}.

Passo 5

O resultado mostra que a velocidade média decai exponencialmente com tempo característico \tau. Fisicamente, sem campo externo, as colisões relaxam o momento dos elétrons e a corrente associada tende a zero quando t\to\infty.

Resposta

\displaystyle \vec v_{\rm med}(t)=\vec v_{\rm med}(0)\,e^{-t/\tau}, que decai para zero.

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